quote:

---

Ο καθένας έχει την δικιά του αντίληψη για την σοφία.

---

.
.
.
" Υπάρχει ο σωστός τρόπος, ο λάθος τρόπος, και ο ...δικός μου τρόπος! "

Το βλαβερό στοιχείο στη λογική τεχνική είναι ότι μας κάνει να ξεχνάμε την ειδική μαθηματική τεχνική . Η λογική τεχνική είναι απλώς μια βοηθητική τεχνική στα μαθηματικά . Λ.χ. αποκαθιστά δεσμούς μεταξύ διαφόρων τεχνικών . (BGM 281 - 282)

Θέλω να δώσω μιαν εποπτική εικόνα της πολυχρωμίας των μαθηματικών . (BGM 182)

Οι επιδιώξεις των θεμελιωτιστών είναι παράλληλες με εκείνες των φιλοσόφων που απέβλεπαν στην κατασκευή ιδεωδών γλωσσών , επειδή τάχα η καθημερινή δεν είναι αξιόπιστη .

Αυτό το παρδαλό συνονθύλευμα ( “buntes Gemisch” κατά την έκφραση του Wittgenstein ) είναι η μαθηματική γλώσσα , η οποία — όπως ακριβώς η καθημερινή — βρίσκεται σε απόλυτη λογική τάξη .

Εν τοιαύτη περιπτώσει , έργο μας δεν μπορεί να είναι η επιδιόρθωσή της , αλλά η κατανόησή της .

Ωστόσο , όπως δεν μπορείς να αναγνωρίσεις μια ανθρώπινη μορφή τυλιγμένη σε ένα σωρό ρούχα (BGM 162 , 185) , έτσι δεν μπορείς να διακρίνεις τις λεπταίσθητες διαφορές οι οποίες δηλώνουνπού τελειώνει ένας λογισμός και πού αρχίζει ένας άλλος , όταν τους τυλίγεις όλους μαζί σε ένα αξιωματικό περιτύλιγμα .

Μια μεγαλύτερη ευαισθησία . Αυτό είναι που θα διακρίνει τους μαθηματικούς του αύριο από εκείνους του σήμερα . Και αυτό είναι που , σαν να λέμε , θα κορφολογήσει τα μαθηματικά . Διότι τότε θα μας ενδιαφέρει περισσότερο η απόλυτη σαφήνεια , παρά η ανακάλυψη καινούργιων παιχνιδιών (πρβλ. BGM 210) [ . . . ] Η φιλοσοφική σαφήνεια θα φέρει στην ανάπτυξη των μαθηματικών το ίδιο αποτέλεσμα που ο ήλιος έχει πάνω στα βλαστάρια της πατάτας (που στο σκοτεινό κελάρι , γίνονται ένα μέτρο μακριά) . (ΦΓ 392)

ΥΓ.:

BGM : Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik (Παρατηρήσεις γύρω από τη θεμελίωση των μαθηματικών)

Η ιδέα είναι ότι , αφού οι προτάσεις των υπολοίπων μαθηματικών μπορούν να αναλυθούν σε προτάσεις της συνολοθεωρίας και της μαθηματικής λογικής , τότε οι προτάσεις της συνολοθεωρίας και της μαθηματικής λογικής είναι εκείνες που στηρίζουν τα υπόλοιπα μαθηματικά και εκείνες από τις οποίες εξαρτάται η εγκυρότητα άλλων κλάδων των μαθηματικών .

Ολόκληρη η θεμελιωτική προσπάθεια εκφράζει αυτή την αναγωγική πεποίθηση .

Αν έχουμε αμφιβολίες ως προς τη συνέπεια των λογισμών μας , η λύση είναι να δείξουμε ότι μπορούν να παραχθούν εγκύρως από άλλους , για τους οποίους είμαστε βέβαιοι .

Έμοιαζε να υπάρχει ένας θεμελιώδης λογισμός , συγκεκριμένα η λογική , στον οποίο μπορούν να εδρασθούν όλοι οι υπόλοιποι .

Αυτή την ιδέα είχαν ο Russel και ο Frege : ότι η λογική αποτελεί τη βάση των μαθηματικών .

Το έργο τους ήταν να εκθέσουν τα χαρακτηριστικά αυτού του θεμελιώδους λογισμού , να δείξουν τι πράγμα είναι η λογική .

Η λογική ασχολείται με προτάσεις και συναρτήσεις , και τα μαθηματικά μπορούν να στηριχθούν στη λογική .

Έτσι η λογική παρέχει τη γενική μορφή των μαθηματικών προτάσεων [ . . . . ]

Όταν ο Frege προσπαθούσε να αναπτύξει τα μαθηματικά ορμώμενος από τη λογική , πίστευε ότι ο λογισμός της λογικής , ήταν ο λογισμός , οπότε οτιδήποτε απέρρεε από αυτόν θα ήταν σωστά μαθηματικά .

Μια άλλη ιδέα επί του αυτού επιπέδου ήταν ότι τα μαθηματικά μπορούν να παραχθούν από την αριθμητική των πληθικών . Μαθηματικά και λογική ήταν ένα ενιαίο οικοδόμημα και η λογική το θεμέλιό του .

Αυτό το αρνούμαι . Ο λογισμός του Russel είναι ένας λογισμός ανάμεσα σε άλλους . Είναι κι αυτός μαθηματικά . (WL 1932 - 35 : 13 , 138)

Η λογική διέπει τα μαθηματικά δεν τα στηρίζει , υπό την έννοια ενός υποκειμένου λογισμού ο οποίος παρέχει νόημα στα σημεία του υπερκειμένου .

quote:

---

Μεταφυσική είναι η μελέτη των πρώτων αρχών. Των αιτιών, των όντων.
Για παράδειγμα, μεταφυσικό είναι το ερώτημα εάν οι αριθμοί ανακαλύπτονται (άρα προ-υπάρχουν) ή κατασκευάζονται από τον άνθρωπο.
Συγχέεις τη μεταφυσική (ως κλάδο της φιλοσοφίας) με την παραψυχολογία και τη μελέτη παραφυσικών φαινομένων.

---

Εγώ Αμαλία, δεν βλέπω σημαντικές διαφορές ανάμεσα στην μεταφυσική και το παραφυσικό.
Ακόμη και όπως την ορίζει ο Θ. Πελεγρίνης στο σύγγραμμα του, δεν βλέπω διαφορές.
Αντιγράφω ένα απόσπασμα...
"...Ενώ, ορισμένως, στο πλαίσιο των φυσικών επιστημών επιχειρείται να καθοριστεί η πραγματικότητα όπως μπορεί να συλληφθεί εμπειρικά, η μεταφυσική αναφέρεται σε έναν υπερβατικό κόσμο, σε έναν κόσμο, συγκεκριμένα, ο οποίος υπερβαίνει τα όρια της εμπειρίας και, ως εκ τούτου, δεν μπορεί να γίνει αντιληπτός με την παρατήρηση, το πείραμα και τις μεθόδους των φυσικών επιστημών.»

Αλλ’αυτό συνιστά επέκταση κι’όχι θεμελίωση των μαθηματικών .

Ο λογισμός της λογικής παράκειται του λογισμού της αριθμητικής . Τυπική λογική και μαθηματικά βρίσκονται σε σχέση παραλληλίας και όχι υπαλληλίας .

Υπάρχει κανένα υπόστρωμα στο οποίο εδράζονται τα μαθηματικά ; Είναι η λογική θεμέλιο των μαθηματικών ; Κατά την άποψή μου η μαθηματική λογική είναι απλώς μέρος των μαθηματικών . Δεν υπάρχει τίποτε το προβληματικό σε μια επιστήμη που δεν έχει θεμελιωθεί . (WL 1932 - 35 : 205)

Η λογική των μαθηματικών φαίνεται στη χρήση του μαθηματικού λογισμού .

Επομένως η εγκυρότητα του υπό έλεγχον λογισμού θα πρέπει να αναζητηθεί σ’αυτόν τον ίδιο .

Το θεμέλιο που η λογική παρέχει στα μαθηματικά , μέσα σε ένα σύστημα όπως εκείνο των Principa Mathematica , είναι ανάλογο με εκείνο που ο ζωγραφιστός βράχος παρέχει στον ζωγραφιστό πύργο στο πλαίσιο ενός ζωγραφικού πίνακα . Ο πίνακας εδώ αποτελεί τον γεφυροποιό λογισμό που αποκαθιστά τη σύνδεση , όχι ανάμεσα στον πύργο και στο βράχο , αλλά ανάμεσα στις εικόνες τους . Και αν υπάρχει κάποια λογική σ’αυτή τη σύνδεση , είναι ζωγραφική λογική .

Ο “λογικός χώρος” της ζωγραφικής δεν είναι ο χώρος των φυσικών αντικειμένων : Αν σβήσω τον βράχο , ο πύργος δεν θα καταρρεύσει .

Αν το νόημα μιας έκφρασης είναι ο ρόλος της στα πλαίσια ενός λογισμού , είναι αδύνατον η έκφραση αυτή να έχει το ίδιο νόημα στα πλαίσια ενός άλλου λογισμού . Σύγκριση ως προς το νόημα μεταξύ δύο εκφράσεων μπορεί να γίνει μόνο εντός του ίδιου λογισμού :

Στα μαθηματικά δεν μπορούμε να μιλάμε για συστήματα εν γένει , αλλά μόνο εντός συστημάτων [ . . . . ] Δεν μπορείς να πεις ότι η p ανήκει στο σύστημα S . Δεν μπορείς να ρωτήσεις σε ποιο σύστημα ανήκει η p . Δεν μπορείς να αναζητήσεις το σύστημα p .

Κατανόηση της p σημαίνει κατανόηση του συστήματος στο οποίο ανήκει . Αν η p μοιάζει να πηγαίνει απ’το ένα σύστημα στο άλλο , τότε , στην πραγματικότητα , η p έχει αλλάξει νόημα . (ΦΠ §§152 , 153 , πρβλ. WL 1930 - 32 : 17)

Άρα , η εξίσωση μιας μαθηματικής έκφρασης με μια έκφραση της τυπικής λογικής δεν μπορεί να υποδηλώνει ταυτότητα νοήματος . Κάθε μία έχει το νόημά της στο πλαίσιο του λογισμού στον οποίο ανήκει . Η εξίσωση αυτή απλώς δηλώνει έναν κανόνα αντικατάστασης : Την απόφασή μας να αντικαθιστούμε , για ορισμένους σκοπούς , τη μια έκφραση με την άλλη (TLP 6.211 , 6.23 , 6.24) .

Μ’άλλα λογια , η γέφυρα που συνδέει τις δύο εκφράσεις κατασκευάστηκε , δεν ανακαλύφθηκε . Επομένως δεν μας αποκαλύπτει κάτι περί του νοήματος των εκφράσεων . Ούτε μας λέει ότι της μαθηματικής έκφρασης υπόκειται μια έκφραση της λογικής , η οποία συνιστά το νόημα ή επικυρώνει την αλήθειατης πρώτης .

Κανένας λογισμός δεν μπορεί να απαντήσει σε ένα φιλοσοφικό πρόβλημα . Ένας λογισμός δεν μπορεί να μας δώσει πληροφορίες για τη θεμελίωση των μαθηματικών . (ΦΓ 312)

Σκοπός των “αναδρομικών αποδείξεων” είναι βεβαίως η αποκατάσταση μιας σύνδεσης ανάμεσα στον αλγεβρικό και στον αριθμητικό λογισμό . Και το δέντρο των αναδρομικών αποδείξεων “δικαιολογεί” τον αλγεβρικό λογισμό μόνο υπό την έννοια ότι τον συνδέει με τον αριθμητικό λογισμό . Όχι όμως υπό την έννοια ότι οι κατάλογοι των υποδειγμάτων δικαιολογούν τον αλγεβρικό λογισμό , μ’άλλα λόγια , τα βήματα που κάνουμε σ’αυτόν . (ΦΓ 432)

Το σύστημα υπολογισμού με γράμματα είναι ένας νέος λογισμός .

Αλλά η σχέση του με τους συνηθισμένους αριθμητικούς υπολογισμούς δεν είναι εκείνη ανάμεσα σε μεταλογισμό και λογισμό . Ο υπολογισμός με γράμματα δεν είναι θεωρία . (ΦΠ 425)

Η διαφορά ανάμεσα στη δική μου οπτική και όλων εκείνων που γράφουν σήμερα για τη θεμελίωση της αριθμητικής έγκειται στο ότι εγώ δεν βρίσκω απαραίτητο να περιφρονώ συγκεκριμένους λογισμούς , όπως λ.χ. , το δεκαδικό σύστημα .

Για μένα όλοι οι λογισμοί είναι εξίσου καλοί . Το να υποτιμάς ένα συγκεκριμένο λογισμό μοιάζει με το να θες να παίξεις σκάκι δίχως πραγματικές φιγούρες , γιατί , έτσι όπως παίζεται , είναι πολύ συγκεκριμένο , όχι αρκετά αφαιρετικό .
Αλλά , αν οι φιγούρες δεν παίζουν ρόλο , τότε όλες είναι εξίσου καλές . Κι αν τα παιχνίδια είναι διαφορετικά , τότε τόσο το ένα όσο και το άλλο είναι εξίσου καλά , μ’άλλα λόγια , ενδιαφέροντα . Κανένα δεν είναι ανώτερο απ’το άλλο . (ΦΓ 348)

Τα μεταμαθηματικά του Hillbert είναι απλώς μαθηματικά ή μεταμφιεσμένα μαθηματικά (WWK 121 , 136 , ΦΠ 413 , 425) .

Η χίμαιρα των μεταμαθηματικών είναι αποκύημα της “βαθιάς ανησυχίας” του Hilbert μη τυχόν και στα αξιώματα του συστήματος υπάρχουν άδηλες αντιφάσεις οι οποίες , όταν ανακαλυφθούν , θα οδηγήσουν το σύστημα σε κατάρρευση .

Τα μεταμαθηματικά , και ειδικότερα οι αποδείξεις συνέπειας είναι το προσφερόμενο αντίδοτο στον φόβο των κρυμμένων αντιφάσεων .

Όμως αυτός ο φόβος είναι αβάσιμος :

“Γιατί απαγορεύεται να προκύψει μια συγκεκριμένη διάταξη σημείων ; Γιατί αυτός ο φόβος ; Γιατί αυτό το ταμπού” ;

Ο Wittgenstein προσπαθεί να δείξει ότι εδώ η εμφάνιση αμφιβολίας είναι αδιανόητη επισημαίνοντας κυρίως δύο πράγματα :

Πρώτον , ότι ο ίδιος ο όρος “κρυμμένη αντίφαση” αποτελεί αντίφαση στους όρους και , δεύτερον , ότι η ύπαρξη μιας αντίφασης είναι εντελώς αβλαβής για τον λογισμό .

Το επιχείρημα που υποστηρίζει τον πρώτο ισχυρισμό είναι ότι ένα ερώτημα δεν έχει νόημα αν δεν διαθέτεις μέθοδο απάντησής του .

Υπ’αυτήν την έννοια το να ρωτάς κατά πόσον υπάρχει αντίφαση σ’ένα σύστημα κανόνων είναι ανόητο , διότι ο εντοπισμός της αντίφασης είναι ταυτόσημος με τη μέθοδο ανεύρεσής της (WWK 195 , 208 , ΦΠ 417-418 , 442 , 444 , WL 1930-32 : 16-17 , LFM 209-211 , 224-226) .

Δεν βρισκόμαστε εδώ στον κόσμο της εμπειρίας , όπου ένα αντικείμενο είναι διανοητό να υπάρχει και να το γνωρίζουμε , ανεξάρτητα από το αν το έχουμε στα χέρια μας . Στα μαθηματικά , και στη γραμματική εν γένει , εκείνο που υπάρχει είναι μόνο εκείνο που έχουμε στα χέρια μας .

Εν όσω η αντίφαση δεν αναφύεται , ο λογισμός είναι απολύτως υγιής (LFM 227) — αφού τίποτε δεν σε εμποδίζει να κάνεις τους υπολογισμούς σου , όπως ανέκαθεν τους έκανες .

Αντίφαση υπάρχει μόνο απ’τη στιγμή που διαθέτουμε μέθοδο ανεύρεσής της , οπότε μια αντίφαση δεν μπορεί ποτέ να είναι κρυμμένη .

Οι αντιφάσεις κατασκευάζονται δεν ανακαλύπτονται .

Αν ξεκινώντας στα τυφλά , ψάχνοντας για αντιφάσεις , φτάσω κάποια στιγμή σε αντίφαση , δεν σημαίνει ότι την ανακάλυψα , διότι η ανακάλυψη είναι προϊόν αναζήτησης , και η διαδικασία που ακολούθησα δεν αποτελεί αναζήτηση — μια και δεν έχει ούτε σχέδιο ούτε αντικείμενο (ΦΠ 424-425 , 435) .

Το παράξενο εδώ είναι ότι κάτι ψάχνουμε και δεν έχουμε ιδέα τι είναι πραγματικά αυτό που ψάχνουμε .

Πώς να ρωτήσω λ.χ. αν η ευκλείδειος γεωμετρία είναι απηλλαγμένη αντιφάσεων , τη στιγμή που δεν μπορώ καν να σκεφτώ τι θα σήμαινε να περιέχει αντιφάσεις ;

Πώς θα ήταν , αν περιείχε μιαν αντίφαση ; (ΦΠ 429)

Αν τώρα η αντίφαση που συνάντησα , περιπλανώμενος έτσι άσκοπα μέσα στους κανόνες του συστήματος , με ενοχλεί , μπορώ να κάνω τρία πράγματα :

α) Να την αγνοήσω και να εξακολουθήσω να χρησιμοποιώ τον λογισμό , έχοντας συνείδηση του γεγονότος ότι σε κάποιο σημείο της εφαρμογής των κανόνων ανακύπτει αντίφαση .

β) Να θεσπίσω ένα ad hoc κανόνα που να διευθετεί την αντίφαση ,

γ) Να εγκαταλείψω όλως διόλου τον λογισμό , κατασκευάζοντας ίσως κάποιον άλλο που δεν θα παρουσιάζει αυτό το πρόβλημα (ΦΠ 411-444 , ΦΓ 318-320) .

Δεν υπάρχει λάθος λογισμός . Διότι άπαξ και λογιζόμαστε μ’αυτόν (μ’άλλα λόγια κάνουμε τη δουλειά μας) οποιδήποτε ανακάλυψησχετικά μ’αυτόν δεν αναιρεί τη εφαρμοσιμότητα του : “Καταργεί αυτό όσα έκανες πριν ; Όχι βέβαια !” (FP 444 , LFM 209-210 , BGM , πρβλ.. ΠΒ §§212 , 217) .

Η έννοια της διερεύνησης των αξιωμάτων πρέπει να αποκλείει τη δυνατότητα παράβλεψης μιας αντίφασης . Αλλιώς συγχέουμε απροσεξία με αδυναμία επισκόπησης . Αλλά “μπορώ πάντοτε να αποφασίζω κατά πόσον υπάρχει αντίφαση , με το να διερευνώ τον κατάλογο των κανόνων μου” (WWK 195) .

Ανέκυψε μια αντίφαση . Είχα από την αρχή μέθοδο εντοπισμού της ;

Αν ναι , τότε το μόνο που συνέβη ήταν μια παράβλεψη .

Αν όχι , δεν τίθεται καν θέμα δυνατότητας αντίφασης , διότι η αντίφαση δίνεται μόνο με τη μέθοδο ανακάλυψής της . (WL1930-32 : 16-17)

Αν όλο κι’όλο που κάνουμε (στα μαθηματικά) είναι να υπολογίζουμε , το μόνο που μπορεί να πάει στραβά είναι να βρεθούμε σε ένα σημείο όπου δεν μπορούμε πια να υπολογίσουμε .

Άπαξ και συλλάβουμε αυτό το πράγμα , οποιαδήποτε ανάγκη για αποδείξεις συνέπειας εξαφανίζεται [ . . . ]

Το να λες ότι ένας λογισμός είναι συνεπής σημαίνει ότι μπορούμε να κάνουμε υπολογισμούς στο πλαίσιό τους , και δεν χρειάζεται απόδειξη για να μας πείσει πως έτσι έχουν τα πράγματα .

Κι αν τώρα ζητούν μιαν απόδειξη συνέπειας , διότι αλλιώς , σε κάθε βήμα τους , κινδυνεύουν να πέσουν στον βάλτο — τι ακριβώς ζητούν ; — Ε , να , ζητούν ένα είδος τάξης . — Καλά , πριν δεν υπήρχε καμία τάξη ; — Όχι , αλλά ζητούν μια τάξη που να τους καθησυχάζει τώρα . — Και τι είναι λοιπόν ; μικρά παιδιά που θέλουν να τα νανουρίσει ;(BGM 204)

Μια άλλη πλάνη του φορμαλισμού εκδηλώνεται στη διάκριση ανάμεσα σε καθαρή αριθμητική και αριθμητικές εφαρμογές , οι οποίες είναι απλώς προεκτάσεις των αριθμητικών υπολογισμών , οπότε μόνο η μελέτη των κανόνων χειρισμού των συμβόλων σε ορθούς υπολογισμούς θα μας επιτρέψει να κατανοήσουμε τη σημασία της αριθμητικής .

Αυτό που τη διακρίνει από ένα σκέτο παιχνίδι είναι ακριβώς ότι οι υπολογισμοί της είναι συνυφασμένοι με τη δυνατότητα μέτρησης και απαρίθμησης .

Είναι λοιπόν ανόητο να προσπαθούμε να εφαρμόσουμε τον αριθμητικό λογισμό στη γραμματική της καθημερινής εμπειρικής γλώσσας , διότι , απλούστατα , χαρακτηρίζοντας μια πρόταση ως “αριθμητική” , έχομε ήδη δηλώσει ότι είναι εφαρμόσιμη . Η εφαρμοσιμότητα μιας μαθηματικής πρότασης είναι μέρος του νοήματός της (ΦΓ 308-309 , 321-325 , WL 1930-32 : 12 , WL 1932-35: 127 , BGM 146 , 257) .

Αλλά τι πράγμα προσθέτει η εφαρμογή στον υπολογισμό ;

Εισάγει μήπως κανένα νέο λογισμό ; Ε , τότε πρόκειται για άλλον υπολογισμό .

Ή μήπως του δίνει υπόσταση , υπό κάποιαν ουσιώδη για τα μαθηματικά (τη λογική) έννοια ;

Πώς μπορούμε τότε , έστω και προσωρινά , να παραβλέψουμε την εφαρμογή ;

Όχι , ο υπολογισμός με μήλα είναι κατ’ουσίαν ίδιος με τον υπολογισμό με γραμμές ή με ψηφία .

Η μηχανή αποτελεί προέκταση του κινητήρα , αλλά η εφαρμογή (υπ’αυτήν την έννοια) δεν αποτελεί προέκταση του υπολογισμού . (ΦΓ 324-325)

Πώς συμβιβάζεται αυτή η ιδέα με την άποψη ότι το νόημα μιας μαθηματικής πρότασης προσδιορίζεται από την απόδειξή της ;

Εδώ δημιουργείται η αίσθηση μιας αντίφασης , αφού το νόημα μιας μαθηματικής πρότασης ορίζεται τη μια από το λογισμό , την άλλη από την εφαρμογή του .

Τη μια παραμένει ακλόνητο στο πλαίσιο ενός προτασιακού συστήματος , την άλλη αφήνεται ελεύθερο στην ενδεχομενικότητα των εκάστοτε εφαρμογών του .

Αλλά αντίφαση υπάρχει μόνο εφόσον παραγνωρίζεται η φύση του λογισμού . Διότι η σύνδεση του λογισμού με την πραγματικότητα είναι εσωτερική .

Η εφαρμογή μιας μαθηματικής πρότασης είναι η άλλη όψη του νομίσματος , χωρίς την οποία το νόμισμα δεν έχει αγοραστική αξία (και ο λογισμός δεν είναι λογισμός) .

Τα παραπάνω έχουν άμεση συνάφεια με τις παρατηρήσεις του Wittgenstein γύρω απ’το είδος της σύνδεσης που υπάρχει ανάμεσα στην εντολή και στην εκτέλεσή της , στην προσδοκία και στο προσδοκόμενο , στην επιθυμία και στο επιθυμούμενο κλπ.

Ο λόγος για τον οποίο δίνουμε τόσο μεγάλη σημασία στη διερεύνηση της γραμματικής της επιθυμίας , της προσδοκίας , της πρόθεσης κλπ. (ΦΓ 143-184) είναι το μεγαλύτερο μέρος των φιλοσοφικών πλανών (μεταξύ των οποίων και εκείνη της αρμονίας γλώσσας και πραγματικότητας) πηγάζει από τη σύγχυση ανάμεσα σε “εσωτερικές” και “εξωτερικές” σχέσεις .

Απλώς ο Brouwer έχει αντιστρέψει τους όρους της πλάνης . Και ο λόγος αυτής της αναστροφής ανάγεται σε άλλη βαθύτερη , πλάνη : Εκείνη του ψυχολογισμού .

Σε πολύ αδρές γραμμές , ο Brouwer υποστηρίζει ότι πηγή των παραδόξων είναι η θεμελίωση των μαθηματικών στη λογική . (Η εμφάνιση των παραδόξων , λ.χ. , στην περιοχή των απείρων κλάσεων , οφείλεται στο ότι εκεί ο νόμος του αποκλειομένου τρίτου δεν ισχύει) .

Η λογική , όχι απλώς δεν είναι η βάση των μαθηματικών , αλλά , αντίθετα , στηρίζεται στα μαθηματικά , ή , πιο συγκεκριμένα , στην “Grundintuition” , τη “θεμελιώδη μαθηματική εποπτεία της δυϊκότητας” , προϊόν της αφαιρετικής επέμβασης του νου πάνω στη χρονική αλληλουχία των εμπειριών μας .

Αλλά αν , όπως εξηγήσαμε προηγουμένως , [ λογική και μαθηματικά βρίσκονται επί του αυτού επιπέδου ] , τότε κανένα από τα δύο δεν μπορεί να αποτελέσει θεμέλιο του άλλου .

Συν τοις άλλοις , η παραδοχή μιας ψυχολογικής διαδικασίας , όπως η θεμελιώδης εποπτεία , ως συστατικού και σημείου έδρασης του θεμελίου , υπονομεύει ανεπανόρθωτα τη στατική του αντοχή .

Διότι αν τα μαθηματικά δεν είναι επιστήμη ούτε ασχολούνται με αντικείμενα , πολλώ μάλλον με νοητικά αντικείμενα , υπό ποίαν έννοια μια τέτοια διαδικασία είναι “μαθηματική” ;

Δεν φαίνεται αλήθεια από δω πόσο ανόητο είναι να μιλάμε για “θεμελιώδη εποπτεία” ; ( . . . . ) Όταν οι ενορασιοκράτες μιλούν για “θεμελιώδη εποπτεία” , αναφέρονται σε κάποια ψυχολογική διαδικασία ; Και πώς αυτή η διαδικασία μπαίνει στα μαθηματικά ; (ΦΓ 336)

Η ενορασιοκρατία είναι μια κουταμάρα , πέρα για πέρα . (LFM 237)

Όπως και να’χει το πράγμα , ο Brouwer ξεκίνησε ένα ολόκληρο πρόγραμμα αναμόρφωσης των μαθηματικών επί τη βάσει ενορασιοκρατικών αρχών , εξοβελίζοντας μεγάλα τμήματα της επικράτειάς τους .

Αν όμως ένας λογισμός κάνει τη δουλειά που θέλεις , ποιος ο λόγος να τον εξοβελίσεις ;

Μόνο αν πιστεύεις ότι ο λογισμός αυτός αποτελεί σαθρό θεμέλιο άλλων λογισμών ή στηρίζεται ο ίδιος σε σαθρά θεμέλια .

Μ’άλλα λόγια , μόνο αν είσαι δέσμιος της θεμελιωτικής πλάνης και δεν αντιλαμβάνεσαι ότι οι μαθηματικοί λογισμοί δεν αποτελούνται από περιγραφές , αλλά από σκέτους αλγορίθμους .

Στην πραγματικότητα το πρόγραμμα Brouwer ισοδυναμεί με μεταρρύθμιση (και όχι με θεμελίωση) των μαθηματικών .

Ο Feigl αναφέρει ότι ο Wittgenstein είχε βγει από την αίθουσα πολύ αναστατωμένος και σε κατάσταση διανοητικού αναβρασμού .

Το γεγονός αυτό , μαζί με τα εμφανή δομιστικά μοτίβα , τόσο του TLP (Tractatus logico-philosophicus) , όσο και των μεταγενέστερων κειμένων , καθώς και η σοπεναουερικών καταβολών βουλησιαρχία του Brouwer , απετέλεσαν ικανά κριτήρια για την έναρξη των παρατηρήσεων του Wittgenstein γύρω από τα μαθηματικά στο πλαίσιο της ενορασιοκρατίας του πρώτου .

Μια τέτοια κίνηση είναι αδικαιολόγητη εν όψει των ριζικών διαφορών ανάμεσα στις δύο προσεγγίσεις , οι οποίες άλλωστε μαρτυρούνται από τη συχνή κριτική του Wittgenstein σε βασικές αρχές της ενορασιοκρατίας :

α) Η πεποίθηση του Brouwer ότι τα μαθηματικά αποτελούν προγλωσσική κατασκευή είναι ασυμβίβαστη με την αντιψυχολογιστική τοποθέτηση του Wittgenstein , ο οποίος όπως είπαμε , βλέπει τις μαθηματικές εξισώσεις ως κανόνες αντικατάστασης , που επιτρέπουν να συνάγουμε μια εμπειρική πρόταση από μιαν άλλη .

Τις βλέπει δηλαδή ως έκφραση της δυνατότητας υποκατάστασης μιας μαθηματικής παράστασης με μιαν άλλη , στο πλαίσιο της μαθηματικής μεθόδου .

Στο ερώτημα κατά πόσον για τη λύση των μαθηματικών προβλημάτων , χρειαζόμαστε την εποπτεία , θα πρέπει ν’απαντήσουμε ότι εδώ η γλώσσα είναι εκείνο που παρέχει την απαραίτητη εποπτεία .

Η διαδικασία του υπολογισμού πορίζει αυτή την εποπτεία . Ο υπολογισμός δεν είναι πείραμα . (TLP 6.233 , 6.2331)

Αν η εποπτεία είναι μια εσωτερική φωνή , πώς ξέρω με ποιον τρόπο να την ακολουθήσω ; Κι’ύστερα , πώς ξέρω ότι δεν με παραπλανά ; Γιατί , αν μπορεί να με οδηγεί σωστά , τότε μπορεί να με οδηγεί και λάθος (ΦΕ §213).

Πώς καταλαβαίνω που η “εσωτερική φωνή” μου λέει ;

Μήπως με μια δεύτερη πράξη εποπτείας ; !

Αλλά ό,τι και νάναι — είτε φωνή είτε είδος αντίληψης — πώς ξέρω ότι είναι σωστή ;

Αν ιαχυρισθεί κανείς ότι η εποπτεία είναι κάτι σαν την αναγνώριση , ότι δηλαδή δεν υπάρχει περίπτωση να έχω λανθασμένη εποπτεία ενός πράγματος , πώς ξέρω ότι αυτό που έχω είναι εποπτεία ; Γιατί βέβαια εδώ δεν υπάρχει η ανεξάρτητη , εξωτερική επιβεβαίωση που έχουμε στην περίπτωση της αναγνώρισης .

Όταν λέω ότι αναγνωρίζω τον Α , έχω τρόπους ανεξάρτητης ταύτισης του Α για να βεβαιωθώ ότι αυτό που συνέβη ήταν όντως μια πράξη αναγνώρισης .

Στην περίπτωση όμως της εποπτείας ενός εσωτερικού αντικειμένου , απουσιάζει τέτοια δυνατότητα .

Για εποπτεία μπορεί να μιλάει κανείς μόνο όταν υπάρχουν άλλες μέθοδοι ελέγχου της ορθότητάς της (είτε αυτό είναι η εμπειρία είτε ο υπολογισμός) .

Άρα η έννοια της “θεμελιώδους εποπτείας” είναι μια ανοησία . “Εποπτεία : ένα άχρηστο ανακάτωμα” (ΦΕ §213) .

β) Είναι βασική αρχή της ενορασιοκρατίας (και άλλων μορφών δομισμού) ότι μια μαθηματική πρόταση μπορεί να είναι κατανοητή , ανεξ΄ρτητα απ’το αν γνωρίζουμε κατά πόσον αληθεύει . Ή , αλλιώς , ότι η μαθηματική αλήθεια μιας δήλωσης που είναι κατανοητή πριν απ’την απόδειξη . Η ιδέα αυτή προέρχεται ξανά από τον χώρο της εμπειρίας .

Αλλά για τον Wittgenstein , τα μαθηματικά δεν περιέχουν εμπειρικές δηλώσεις που επιδέχονται τέτοιου είδους επαλήθευση .

γ) Ο Wittgenstein απορρίπτει την αντίληψη του Brouwer ότι οι νόμοι της λογικής εδράζονται στα μαθηματικά , με το ίδιο μέτρο που απορρίπτει και την αντιδιαμετρική της αντίληψη , τον λογικισμό .

Και οι δύο δίνουν χαρακτήρα θεμελίου σε ένα λογισμό που παράκειται ενός άλλου .

δ) Ο Brouwer έβλεπε τους νόμους της λογικής περίπου σαν τους νόμους της φύσεως , σαν γενικές περιγραφές φαινομένων .

Συγκρίνοντας αυτές τις περιγραφές με τα ίδια τα φαινόμενα , είμαστε σε θέση να δούμε αν ταιριάζουν με αυτά εξ ολοκλήρου ή εν μέρει , και κατά περίπτωση να περιορίσουμε την ισχύ τους .

Μέσα απ’αυτή την πεποίθηση υποστήριζε ότι ο νόμος του αποκλειομένου τρίτου πρέπει να αποκλεισθεί από τα μαθηματικά των απειροσυνόλων .

Αλλά για τον Wittgenstein τόσο ο νόμος του αποκλειομένου τρίτου όσο και οι άλλοι νόμοι της λογικής ανήκουν στο πρίσμα , στο πλαίσιο , μέσα από το οποίο βλέπουμε , τον κόσμο , στην “Darstellungsform” ή “Darstellungsweise” (ΦΕ §122) .

Ο περιορισμός της ισχύος ενός νόμου της λογικής προϋποθέτει δυνατότητα ελέγχου αυτού του πλαισίου ή , αλλιώς , δυνατότητα διατύπωσης μιας πρότασης η οποία αρνείται τους λογικούς νόμους που τη διέπουν :

Αλλά δεν υπάρχει τρόπος να βγούμε έξω από το πλαίσιο , για να δούμε αν αποδίδει σωστά εκείνα που βλέπουμε με τη βοήθειά του .

Όπου δεν ισχύει ο νόμος του αποκλειομένου τρίτου δεν ισχύει κανένας άλλος νόμος της λογικής , διότι τότε δεν έχουμε να κάνουμε με προτάσεις των μαθηματικών . Αντίθετα με όσα λένε οι Weyl και Brouwer (ΦΠ 251 , Πρβλ. 287) .

Η λέξη “πρόταση” , αν έχει κάποιο νόημα εδώ , είναι ισοδύναμη με ένα λογισμό και μάλιστα με εκίνον στον οποίο p ν - p = ταυτότητα (ισχύει ο “νόμος της του τρίτου αποκλείσεως”) .

Αν δεν ισχύει , θα πει πως έχουμε αλλάξει την έννοια της πρότασης .

Αυτό όμως δεν σημαίνει πως κάναμε κάποια ανακάλυψη (πως βρήκαμε κάτι που είναι πρόταση και που δεν υπακούει στον τάδε νόμο) . Σημαίνει απλώς ότι κάναμε μια νέα παραδοχή , ότι στήσαμε ένα νέο παιχνίδι (ΦΓ 379-380 , WL 1930 - 32 : 16-17)

Δεν υπάρχει μη αποκρίσιμη πρόταση (είτε μαθηματική είτε εμπειρική) , διότι ως “πρόταση” ανήκει ήδη σε ένα προτασιακό σύστημα — αποδεικτικό σύστημα (Beweissystem) στην περίπτωση των μαθηματικών — , για το οποίο υφίσταται γενική μέθοδος επαλήθευσης .

Το ίδιο το ερώτημα κατά πόσον μια πρόταση είναι αποκρίσιμη στερείται νοήματος .

Το να αντιλαμβάνεσαι το νόημα μιας έκφρασης (μ’άλλα λόγια να αντιλαμβάνεσαι ότι είναι πρόταση) πιστοποιεί ότι είναι αποκρίσιμη .

ε) Μια τέτοια θεώρηση των νόμων της λογικής καθιστά αναγκαία την αναδόμηση των μαθηματικών επί τη βάσει ενορασιοκρατικών αρχών .

Όσες περιοχές των μαθηματικών ικανοποιούν αυτές τις αρχές θα πρέπει να κρατηθούν , οι υπόλοιπες να τεθούν εκτός μαθηματικής επικράτειας .

Αλλά ο Wittgenstein δεν απέβλεψε ποτέ σε αναμόρφωση των μαθηματικών .

Τόσο στο χώρο της φιλοσοφίας των μαθηματικών όσο και σε εκείνον της φιλοσοφίας της γλώσσας , ο ρόλος του είναι καθαρά διασαφητικός .

Οι παρατηρήσεις αυτές είναι κατ’ουσίαν το συμπέρασμα ενός επιχειρήματος που αναπτύσσεται σε ολόκληρο το βιβλίο (τις BGM) .

Γι’αυτό η απλή ανάγνωσή τους δεν παραπέμπει πουθενά .

Εξάλλου , ας μην ξεχνάμε ότι η εμπλοκή του θυμικού μέρους της ψυχής δυσχεραίνει κατά κανόνα , αν όχι αποκλείει , την περεταίρω διερεύνηση του θέματος με την προσήκουσα νηφαλιότητα .

Είναι πολύ δύσκολο να προχωρήσεις απροκάληπτα στην ανάγνωση επιχειρημάτων τα οποία οδηγούν στην απόρριψη ενός πράγματος που για σένα έχει αδιαμφισβήτητη αξία . Η πρώτη σκέψη που κάνεις είναι :

Για να καταλήγουν σε τέτοιο απαράδεκτο συμπέρασμα , είναι ανάξια λόγου , πολλώ μάλλον διερευνήσεως .

Αλλά ο λόγος για τον οποίο προσπερνάς κάτι δεν είναι πάντοτε ότι απαξιοίς να ασχοληθείς μαζί του .

Συχνά προσπερνούμε αξιόλογα πράγματα επειδή η δουλειά που κάνουμε εκείνη την ώρα είναι άσχετη μ’αυτά . Και η δουλειά του φιλοσόφου είναι άσχετη με τη δουλειά του μαθηματικού .

“Κανένας λογισμός δεν μπορεί να απαντήσει σε ένα φιλοσοφικό πρόβλημα” (ΦΓ 312) .

Όσο αξιόλογο και να είναι ένα επίτευγμα στον χώρο των μαθηματικών δεν μπορεί στο ελάχιστο να επηρεάσει τη φιλοσοφία — και αντιστρόφως . Και η προτροπή του Wittgenstein αφορά όσους συγχέουν τα μαθηματικά με τη φιλοσοφία — “το υπούργημα” — της απόδειξης του Gödel .

Οι φιλοσοφικές συνέπειές της , αυτό είναι που ο Wittgenstein διαμφισβητεί :

“Τα μαθηματικά δεν μπορούν να λύσουν το είδος των προβλημάτων που εμάς ταλαιπωρούν” (BGM 388) .

Αν η απόδειξη του Gödel συνιστά σπουδαία συνεισφορά στα μαθηματικά , ο Wittgenstein θα ήταν ο τελευταίος που θα ήγειρε αντιρρήσεις .

Αλλά η υποδοχή που ο φιλοσοφικός κόσμος επεφύλαξε στην απόδειξη του Gödel είχε κυρίως να κάνει με την υποτιθέμενη καταλυτική της επίδραση στο θεμελιωτικό πρόγραμμα του Hilbert .

Ένα κομμάτι μαθηματικών έθετε τέρμα σε ένα φιλοσοφικό ζήτημα . Η θεμελίωση των μαθηματικών σε ένα μετασύστημα είναι αδύνατη .

Δεν είναι λοιπόν άξιο απορίας ότι προτίμησε να αντιταχθεί , αντί να ενώσει τις δυνάμεις του με τον Gödel εναντίον του κοινού εχθρού ;

Τι άλλο εκτός από μισαλλοδοξία ή αδυναμία κατανόησης (sic) θα τον οδηγούσαν στην απόρριψη ενός τόσο ισχυρού συμμάχου ;

Εξάλλου , πώς θα πρέπει να εξηγήσουμε το γεγονός ότι , οκτώ χρόνια μετά την ανακοίνωση του θεωρήματος του Gödel και την καταδίκη του προγράμματος Hilbert , o Wittgenstein εξακολουθεί να επιχειρηματολογεί κατά του Hilbert ;

Αν δεν σπεύσουμε να αποδώσουμε στον Wittgenstein ταπεινά κίνητρα ή μειωμένη αντίληψη , το γεγονός έχει μια πολύ εύλογη εξήγηση :

Το θεώρημα του Gödel αποτελεί απλώς μια ακόμη εκδήλωση των πλανών που διαστίζουν τη θεμελιωτική κρίση στο σύνολό της . Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο ο Wittgenstein αφιερώνει τόσο λίγο χώρο στο επίτευγμα του Gödel : Η μαθηματική συνεισφορά δεν τον αφορά ως φιλόσοφο . Και η υποτιθέμενη φιλοσοφική συνεισφορά δεν υπάρχει .

Άρα , το μόνο που κατ’ουσίαν είχε να κάνει ήταν να εντάξει την άποψή του για το επίτευγμα του Gödel στη γενικότερη κριτική του θεμελιωτισμού .

Διότι , για τον Wittgenstein , το θεώρημα του Gödel δεν παρουσιάζει κάτι ριζικά διαφορετικό , κάποια νεόκοπη φιλοσοφική επιχειρηματολογία η οποία θα απαιτούσε ad hoc αντιμετώπιση .

Το μη φιλοσοφικό στοιχείο στο δοκίμιο του Gödel είναι ότι δεν βλέπει τη σχέση ανάμεσα στα μαθηματικά και την εφαρμογή τους . Έχει κι αυτός εδώ εκείνες τις κολλώδεις έννοιες των περισσοτέρων μαθηματικών .

Η όποια ιδιομορφία , ή αξία του εγχειρήματος του Gödel είναι αυστηρώς μαθηματικής φύσεως .

Μόνο η προζαϊκή ερμηνεία της σημασίας του (φερ’ειπείν “άρα δεν μπορούμε να θεμελιώσουμε τα μαθηματικά à la Hilbert” εμπίπτει στην επικράτεια της φιλοσοφίας και , ως προς αυτήν , ο Wittgenstein έχει ήδη εκθέσει δια μακρών τις αντιρρήσεις του , σε άλλες νοηματικές συνάφειες . Ιδού ένα από τα λιγότερο γνωστά χωρία :
Το γεγονός ότι η προζαϊκή έκφραση , η οποία εκλαμβάνεται ως το συμπέρασμα της απόδειξης (του Gödel) , μας καταπλήσσει δεν λέει απολύτως τίποτε . Είναι προφανές ότι η αντίθετή της είναι εξίσου αποδείξιμη .

Και αν κάποιος απορεί που οι αντιτιθέμενες προτάσεις είναι και οι δύο αποδείξιμες , θα του’λεγα : [ “κοίτα καλά την απόδειξη , και θα δεις «υπό ποίαν έννοια» είναι αποδείξιμη η μία και «υπό ποίαν έννοια» η άλλη .
Πριν εξετάσεις με ακρίβεια και εις βάθος την απόδειξη δεν έχεις κανένα λόγο να απορείς” ( . . . ) ]

Ο φιλόσοφος που διατυπώνει προφητείες στα μαθηματικά λέγοντας “αυτό είναι αδύνατο” , “εκείνο δεν μπορεί ποτέ να αποδειχθεί” πλανάται ( . . . ) Η φιλοσοφία δεν έχει τίποτε να πει για μιαν απόδειξη .

Γι’αυτόν το πλαίσιο του προγράμματος Hilbert έχει νόημα : Το σκεπτικιστικό δίλημμα του Hilbert είναι αδιαμφισβήτητο , και μάλιστα πειστικό .

Η διαφωνία του αφορά την προτεινόμενη λύση :

Με δεδομένες τις μαθηματικές παραμέτρους του ζητήματος , όπως αυτές τίθενται απ΄ τον Hilbert , είναι αδύνατον να κατασκευαστεί μια πεπερασμένη απόδειξη συνεπείας , όπως εκείνος τη φανταζόταν . Ή αλλιώς , ο σκοπός του Hilbert δεν επιτυγχάνεται με χιλμπερτικούς όρους .

Στο συνοδευτικό δοκίμιο που δημοσιεύτηκε (από τον Gödel) λίγο μετά την απόδειξη , φαίνεται καθαρά ότι μολονότι ενήμερος των καταστροφικών επιπτώσεων που το θεώρημά του είχε στο πρόγραμμα Hilbert , ο Gödel δεν είχε καμία επιφύλαξη ως προς τη δυνατότητα των μεταλογισμών .

Αλλά και στα ανώτερα συστήματα μπορούμε να κατασκευάσουμε άλλες μη αποκρίσιμες προτάσεις με την ίδια διαδικασία , και ούτω καθεξής .

Όλες οι προτάσεις που κατασκευάστηκαν μ’αυτόν τον τρόπο είναι , βεβαίως , εκφράσιμες στο Ζ ( . . . ) αποκρίσιμες όμως δεν είναι στο Ζ , αλλά στα ανώτερα συστήματα .

Όπως παρατηρεί ο Grattan - Guinness “μολονότι το θεώρημα του Gödel κατέστρεψε τις ελπίδες του Hilbert , δεν εμείωσε το ενδιαφέρον για τα μεταμαθηματικά . Απλώς , το έστρεψε στις μη πεπερασμένες αποδείξεις συνεπείας” .

Άλλωστε ο ίδιος ο Gödel δεν φαίνεται να έδινε τόση σημασία στις αρνητικές συνέπειες που το θεώρημά του είχε στο πρόγραμμα Hilbert , όσο στη διαγραφόμενη δυνατότητα να χρησιμοποιήσει τους μεταμαθηματικούς επιγόνους του Hilbert για να αναζωπυρώσει τον πλατωνισμό μέσα στον θετικιστικό περίγυρο που κυριαρχούσε στην αναλυτική φιλοσοφία της δεκαετίας του ’30 .

Αν η βασική ιδέα που τροφοδοτεί το πρόγραμμα Hilbert — η δυνατότητα των μεταμαθηματικών — δεν ευσταθεί , τότε το πρόγραμμα πρέπει να σταματήσει πριν καν αρχίσει .

Η κριτική του Wittgenstein προηγείται κατά ένα κρίσιμο βήμα εκείνης του Gödel , στο μέτρο που ο δεύτερος εντοπίζει προβλήματα στο οικοδόμημα και όχι στο θεμέλιό του .

Για τον Wittgenstein το πρόγραμμα Hilbert τροφοδοτείται από μια σκεπτικιστική έγνοια που είναι εξ υπαρχής ανυπόστατη .

Η κατάσταση στην οποία έχουμε περιέλθει , όσον αφορά τα παράδοξα , έχει γίνει ανυπόφορη . Σκεφθείτε μονάχα ότι στα μαθηματικά , το υπόδειγμα της αξιοπιστίας και της αληθείας , οι ίδιες οι έννοιες και τα συμπεράσματα , έτσι όπως τα μαθαίνουμε και τα διδάσκουμε , οδηγούν σε παραλογισμούς .

Και πού αλλού θα βρούμε την αξιοπιστία και την αλήθεια , αν η μαθηματική σκέψη χρεοκοπήσει ; (Hilbert 1925 : 375/222)

Μπορείς να ρωτάς από μια σκοπιά που καθιστά το ερώτημα δυνατό .

Που καθιστά την αμφιβολία δυνατή ( . . . )

Δεν μπορείς να ρωτάς για το πρώτο δεδομένο , για εκείνο που καθιστά δυνατό κάθε ερώτημα . Ούτε για εκείνο το αρχικό που θεμελιώνει το σύστημα . (ΦΠ 278 - 279)

Αν δεν μπορείς να αναζητήσεις την απάντηση , ούτε ερώτημα μπορείς να θέσεις . Πράγμα που σημαίνει :

Αν δεν υπάρχει λογική μέθοδος αναζήτησης της λύσης , ούτε το ερώτημα έχει νόημα . (ΦΠ § 149)

Δεν μπορείς να ανασκευάσεις μια ανοησία .

Το μόνο που μπορείς να κάνεις είναι να αποκαλύψεις την πηγή της σύγχυσης .

Και τότε το πρόβλημα θα πάψει να υφίσταται .

Το ότι η απόδειξη του Gödel θέτει τέλος στο πρόγραμμα Hilbert είναι κάτι διανοητό .

Ένα “κομμάτι μαθηματικών” μπορεί να αντιταχθεί νοηματικά σε ένα άλλο κομμάτι μαθηματικών . Όχι όμως και στα φιλοσοφικά του παρελκόμενα .

Μαθηματικά και φιλοσοφία δεν αναμιγνύονται . Συνεπώς , δεν είναι δυνατόν να λύσεις , με μαθηματικό τρόπο , φιλοσοφικά προβλήματα .

Ο Wittgenstein δεν ασχολήθηκε με την κριτική συγκεκριμένων προζαϊκών διατυπώσεων μέσα στην απόδειξη του Gödel . Απ’αυτή την άποψη , μια έκθεση της τοποθέτησής του απέναντι στην απόδειξη θα πρέπει να σταματάει κάπου εδώ .

Ωστόσο , μπορεί κανείς , ακολουθώντας τους γενικούς άξονες της κριτικής του στον Hilbert , να διαβλέψει τα σημεία στα οποία ο Wittgenstein θα είχε αντιρρήσεις , και να αρθρώσει αυτές τις αντιρρήσεις . Το έργο έφερε εις πέρας — κατά τη γνώμη μου με επιτυχία — o Shanker (1988a : 216-231) , στον οποίο παραπέμπω τον αναγνώστη .

Αλλ’αυτό θα σήμαινε ότι ο άπειρος χαρακτήρας δεν ανήκει στην ουσία της κλάσης , ότι είναι κάτι ενδεχομενικό και ότι , επομένως , μπορώ να φανταστώ μια κλάση που είναι τη μια άπειρη , την άλλη πεπερασμένη (WWK 70, 102) .

Πράγμα παράλογο , γιατί βέβαια δεν μπορώ να φανταστώ την άπειρη σειρά των αριθμών ως πεπερασμένη . Ο άπειρος χαρακτήρας της είναι ενσωματωμένος στον νόμο παραγωγής της (ΦΠ §§ 141-142) : Το σύμβολο “ 1 , ξ , ξ+1 ” δηλώνει ότι μπορώ αενάως να κατασκευάζω πεπερασμένες σειρές αριθμών (ΦΠ § 144) .

Συνεπώς , το άπειρο δεν είναι αριθμητικό (ΦΓ 471) ούτε ποσότητα (WWK 228) ούτε έκταση (ΦΠ § 144) ούτε κάποιος τεράστιος αριθμός (ΦΓ 296-297 , 461) , μεγαλύτερος από οποιονδήποτε άλλο ή πιο κοντά σε ένα μεγάλο από ό,τι σε ένα μικρό αριθμό (ΦΠ § 142) .

“ Άπειρο ” σημαίνει την απεριόριστη δυνατότητα επανάληψης μιας πράξης (WWK 213-217 , 229 , ΦΠ § 138-140 , 1444 , 186 , ΦΓ 269) .

Κοντολογίς , στα μαθηματικά δεν έχουμε γενικότητα (TLP 6.031 , 6.1232) , αλλά επαγωγή (ΦΠ §§ 129 , 158 , 166 , 189 , 202 , 204)

Η σχέση της γενικής πρότασης προς την απόδειξή της είναι όπως η σχέση του σημείου προς το σημαινόμενο . Η πρόταση είναι το όνομα της επαγωγής . Την εκπροσωπεί . Δεν απορρέει από αυτήν . (WWK 135 , ΦΠ 424-425)

Η θεωρία των κλάσεων είναι εντελώς περιττή στα μαθηματικά. Αυτό συνδέεται με το γεγονός ότι η γενικότητα που χρειαζόμαστε στα μαθηματικά δεν είναι περιστασιακή γενικότητα (TLP 6.031) .

Η γενικότητα στα μαθηματικά είναι μια κατεύθυνση , ένα βέλος που δείχνει κατά μήκος της σειράς που γεννάται από την πράξη . (ΦΓ §142)

Κι’αυτή η πράξη είναι η επαγωγή , η οποία εκπροσωπείται στο σύμβολο της άπειρης ακολουθίας των αριθμών “1 , ξ , ξ+1”. (WWK 82)

Η επαγωγή όμως δεν μιλάει περί γενικότητας . Απλώς τη δείχνει .

Γι’αυτό κάθε προσπάθεια να τη βάλεις σε λόγια (βλ. Russell) αποτελεί ανοησία .

Η αντίθεση του Wittgenstein με την υπερπεπερασμένη συνολοθεωρία δεν αφορούσε προφανώς τη μαθηματική συνέπεια της κατασκευής των υπερπεπερασμένων , στην οποία , ως φιλόσοφος , δεν είχε να αντιτάξει τίποτε , αλλά την πεποίθηση του Cantor ότι οι αριθμοί αυτοί αποτελούν χειροπιαστή απόδειξη της ύπαρξης του πραγματικού απείρου (ΦΠ 91-92)

Στη ρίζα αυτής της πεποίθησης υπάρχει η πλανημένη εντύπωση ότι τάχα μπορούμε να μιλάμε για μια κλάση χωρίς να ξέρουμε αν αυτή είναι πεπερασμένη ή άπειρη και ότι αυτό το τελευταίο μπορούμε να το διαπιστώσουμε εκτων υστέρων .

Αλλ’αυτό θα σήμαινε ότι ο άπειρος χαρακτήρας δεν ανήκει στην ουσία της κλάσης , ότι είναι κάτι ενδεχομενικό και ότι , επομένως , μπορώ να φανταστώ μια κλάση που είναι τη μια άπειρη , την άλλη πεπερασμένη (WWK 70, 102) .

Πράγμα παράλογο , γιατί βέβαια δεν μπορώ να φανταστώ την άπειρη σειρά των αριθμών ως πεπερασμένη . Ο άπειρος χαρακτήρας της είναι ενσωματωμένος στον νόμο παραγωγής της (ΦΠ §§ 141-142) : Το σύμβολο “ 1 , ξ , ξ+1 ” δηλώνει ότι μπορώ αενάως να κατασκευάζω πεπερασμένες σειρές αριθμών (ΦΠ § 144) .

Συνεπώς , το άπειρο δεν είναι αριθμητικό (ΦΓ 471)ούτε ποσότητα (WWK 228)ούτε έκταση (ΦΠ § 144)ούτε κάποιος τεράστιος αριθμός (ΦΓ 296-297 , 461) ,μεγαλύτερος από οποιονδήποτε άλλο ή πιο κοντά σε ένα μεγάλο από ό,τι σε ένα μικρό αριθμό (ΦΠ § 142) .

“ Άπειρο ” σημαίνει την απεριόριστη δυνατότητα επανάληψης μιας πράξης (WWK 213-217 , 229 , ΦΠ § 138-140 , 1444 , 186 , ΦΓ 269) .

Κοντολογίς , στα μαθηματικά δεν έχουμε γενικότητα (TLP 6.031 , 6.1232) , αλλά επαγωγή (ΦΠ §§ 129 , 158 , 166 , 189 , 202 , 204)

Η σχέση της γενικής πρότασης προς την απόδειξή της είναι όπως η σχέση του σημείου προς το σημαινόμενο . Η πρόταση είναι το όνομα της επαγωγής . Την εκπροσωπεί . Δεν απορρέει από αυτήν . (WWK 135 , ΦΠ 424-425)

Η θεωρία των κλάσεων είναι εντελώς περιττή στα μαθηματικά. Αυτό συνδέεται με το γεγονός ότι η γενικότητα που χρειαζόμαστε στα μαθηματικά δεν είναι περιστασιακή γενικότητα (TLP 6.031) .

Η γενικότητα στα μαθηματικά είναι μια κατεύθυνση , ένα βέλος που δείχνει κατά μήκος της σειράς που γεννάται από την πράξη . (ΦΓ §142)

Κι’αυτή η πράξη είναι η επαγωγή , η οποία εκπροσωπείται στο σύμβολο της άπειρης ακολουθίας των αριθμών “1 , ξ , ξ+1”. (WWK 82)

Η επαγωγή όμως δεν μιλάει περί γενικότητας . Απλώς τη δείχνει.

Γι’αυτό κάθε προσπάθεια να τη βάλεις σε λόγια (βλ. Russell) αποτελεί ανοησία .

Δεν υπάρχουν “όλοι οι αριθμοί” , διότι απλούστατα υπάρχουν άπειροι, και διότι εδώ δεν έχουμε να κάνουμε με το όμορφο “όλα” της έκφρασης “Όλα τα μήλα είναι ώριμα” , όπου το σύνολο δίνεται με μιαν εξωτερική περιγραφή , αλλά μια συλλογή δομών , η οποία πρέπει να δοθεί ακριβώς ως συλλογή δομών ( . . . ) Οι ποσοδείκτες δεν έχουν νόημα στους αριθμούς . (ΦΠ§126)

Το ότι “Όλα τα δέντρα σ’αυτό το περιβόλι είναι ροδακινιές” είναι ένα ενδεχόμενο γεγονός . Ενώ το ότι “Υπάρχουν άπειροι φυσικοί αριθμοί” είναι εσωτερικό γνώρισμα ενός συστήματος .

Αν στην πρώτη περίπτωση μιλήσεις για κλάση , εννοείς μιαν ολότητα , ενώ στη δεύτερη περίπτωση , ο όρος “κλάση” αναφέρεται σε μιαν ακολουθία που διέπεται από έναν ορισμένο κανόνα ή , αλλιώς , στη δυνατότητα να παράγεις αριθμούς επ’άπειρον , επαναλαμβάνοντας μια πράξη (WWK 213-217 , 229 , ΦΓ 269) .

Δεν μπορείς να συγκρίνεις δύο “λογικές μορφές” ( ή “γραμματικές δομές” ) . Δεν μπορείς να πεις ότι ένας νόμος είναι “μεγαλύτερος” από μιαν ολότητα .

Κι’όμως αυτό ακριβώς είναι το είδος του λάθους που διαστίζει την υπερπεπερασμένη συνολοθεωρία του Cantor , κυρίως εκεί όπου , αμυνόμενος στην επίθεση του Kronecker , προσπαθεί να αποδείξει ότι οι υπερπεπερασμένοι του αριθμοί βρίσκονται οντολογικώς επί του αυτού επιπέδου με τους φυσικούς . Ότι ουσιαστικά αποτελούν “προέκταση των φυσικών αριθμών” .

Για να πετύχει αυτό το πράγμα , πίστευε ότι αρκούσε να δείξει πως η σχέση “μεγαλύτερος από” εφαρμόζεται τόσο κατά τη σύγκριση του συνόλου των υπερπεπερασμένων με εκείνο των φυσικών , όσο και κατά τη σύγκριση των υπερπεπερασμένων αριθμών μεταξύ τους . Στην προσπάθειά του αυτή ο Cantor χρησιμοποιεί τη σχέση “μεγαλύτερος από” με χίλιους - δυο διαφορετικούς τρόπους , νομίζοντας ότι το νόημα του συμβόλου « > » διατηρείται αναλλοίωτο .

Το να δέχεσαι κάτι τέτοιο σημαίνει ότι θέτεις ως προϋπόθεση το αποδεικτέο .

Διότι αυτό που ο Cantor πίστευε ότι πέτυχε με την ανακάλυψη των υπερπεπερασμένων , δηλαδή την επέκταση της επικράτειας των φυσικών , εμπεριέχεται ήδη στην ενιαία εφαρμογή της σχέσης « > » στα δύο πεδία .

Κι αυτή η ιδέα έρχεται βεβαίως σε κατά μέτωπον σύγκρουση με την ιδέα του Wittgenstein περί αυτονομίας της γραμματικής .

Μια πράξη σύγκρισης , όπως η « > » , είναι διανοητή μόνο μέσα στο πλαίσιο ενός λογισμού , όχι μεταξύ λογισμών , ούτε μεταξύ μελών διαφορετικών λογισμών .

quote:

---

Θυμάμαι αρκετές φορές να έχω αντιπαρατεθεί με τον πασίγνωστο Μάνο Δανέζη στη χρήση της λέξεως "Φιλοσοφία":

Αυτά που θα ακούσετε δεν είναι μεταφυσικές ούτε φιλοσοφίες, είναι επιστημονικές μελέτες και επιστημονικά πορίσματα...
αυτός είναι ένας συνήθης τρόπος που ξεκινάει τις ομιλίες του.
Και μια δήλωση που την παρεμβάλλει πολύ συχνά ανάμεσα σε άλλα στις δημοφιλείς παρουσιάσεις του.

Συνήθως, κάθομαι με αναμμένα καρφιά στην καρέκλα μου, θέλω να του φωνάξω πως κάνει εντελώς λανθασμένη χρήση της έννοιας "Φιλοσοφία". Πως φιλοσοφία δεν είναι η όποια θεωρία έχει σκαρφιστεί το κεφάλι του καθενός μύστη, "φιλοσόφου", θρησκευτικού ηγέτη, ερευνητή, λόγιου, κ.λπ., αλλά μια μεθοδική εργασία που στηρίζεται σε αυστηρούς κανόνες λογικής, συχνά πολύ πιο αυστηρή από την επιστήμη. Τουλάχιστον αυτό ισχύει για την αναλυτική φιλοσοφία, αλλά και οι άλλου τύπου φιλοσοφίες, όπως π.χ. Φαινομενολογία, Ηπειρωτική Φιλοσοφία, ακόμα και η Ανατολική Φιλοσοφία δεν επιτρέπουν σε όποιον τις ασκεί να λέει ότι θέλει. Δεν είναι δηλαδή φλυαρίες, αλλά μεθοδικά και λιγότερο ή περισσότερο αυστηρά συστήματα σκέψης.

Έτσι, δεν έχουν να ζηλέψουν και πολλά από την επιστήμη από πλευράς εγκυρότητας. Σε πολλές μάλιστα περιπτώσεις, όπως συμβαίνει σε όλες τις φιλοσοφίες των επιστημών (π.χ. Φιλοσοφία της Φυσικής, Φιλοσοφία της Βιολογίας, Φιλοσοφία του Νου, Φιλοσοφία των Κοινωνικών Επιστημών, Φιλοσοφία των Μαθηματικών, Φιλοσοφία της Γλώσσας, κ.λπ.) λαμβάνουν σοβαρά υπόψη τα επιστημονικά ευρήματα και σκοπό έχουν να τα αναλύουν, να τα εξετάζουν και επανεξετάζουν, να θέτουν ή να αμφισβητούν πορίσματα, να συνδράμουν στη σύνθεση ολοκληρωμένων θεωριών, κ.ο.κ.

Δυστυχώς, λίγες φορές έχω καταφέρει να εκφράσω ολοκληρωμένη την παραπάνω ένστασή μου στον αξιοθαύμαστο (το αναφέρω με ειλικρινή συμπάθεια) κ. Δανέζη που τον χρησιμοποίησα εδώ ως αφορμή για την εισαγωγή μου.
Και δεν είναι άλλωστε και ο μόνος που μου δίνει την αφορμή και την ευκαιρία να σκεφτώ και να συζητήσω επάνω στο ποιόν της Φιλοσοφίας.

Το θέτω λοιπόν εδώ προς συζήτηση:
Τι είναι η Φιλοσοφία;
Τι είναι για εσάς η Φιλοσοφία;
Πιστεύετε ότι φιλοσοφείτε;
Τι απαιτείται για να φιλοσοφήσει κανείς;
Ποιά τα εργαλεία της φιλοσοφίας;

Να κλείσω το εισαγωγικό αυτό μήνυμα προσθέτοντας πως το ερέθισμα για να ανοίξω τώρα το θέμα αυτό που σκέφτομαι εδώ και καιρό είναι μια τοποθέτηση σε άλλο θέμα από το μέλος ΚΥΩΝ :

quote:

---

Επιγνωση - Απεστάλη: 26/12/2013, 10:44:55

Η φιλοσοφία,φίλε μου,είναι επιστημονική μέθοδος και ουδεμία σχέση έχει με την θρησκεία.Θέτει ερωτήματα τα οποία προσπαθεί να απαντήσει βάσει λογικών σχέσεων.

---

Συμφωνώ με την άποψη αυτή.

---

ESOTERICA.gr Forums !

© 2010-11 ESOTERICA.gr