Στο ποσό των 25 δολαρίων, ο καθένας πληρώνει 8,33.
Σε αυτό θα προσθέσουμε το ένα δολάρια που επιστρέφεται στον καθένα.
8,33 + 1 = 9,33.
Μετά πολλαπλασιάζουμε 3 x 9,33 = 27,999.
Οπότε δε λείπει τίποτα.

Υ.Γ. Μήπως λέμε το ίδιο πάνω - κάτω, βρε pyramid?

In anticipation of my resurrection...

Είστε και οι δύο εξαιρετικοί, μπράβο!

Όπως πολύ σωστά καταλάβατε, το πρόβλημα ήταν σκόπιμα διατυπωμένο έτσι για να μπερδέψει τον λύτη. Επέτεινα κι εγώ εσκεμμένα τη σύγχυση λέγοντας ότι πρόκειται για παράδοξο, ενώ στην ουσία ήταν ένα ψευδοπρόβλημα. Το ζήτημα είναι στο "και":

quote:

---

Και δύο που τσέπωσε ο θαλαμηπόλος;

---

Λέτε κάπως έτσι να δουλεύει η πλάνη;

Από τις ίδιες εκδόσεις, αν δεν κάνω λάθος κυκλοφορεί και το πολύ καλό βιβλίο "Μυστικοί Αριθμοί" του Ian Stewart.

Ένα άλλο πολύ καλό βιβλίο είναι το "Ιερή Γεωμετρία" του Δημήτρη Ευαγγελόπουλου από τις εκδόσεις Αρχέτυπο. Και βέβαια, τα βιβλία του Τεύκρου Μιχαηλίδη (όπως π.χ. το "Μαθηματικά επίκαιρα").

Και μια και λέω για τον Τεύκρο Μιχαηλίδη να πω και πως στις 19 Σεπτεμβρίου, ημέρα Τετάρτη, ο Μιχαηλίδης μαζί με τη Φιλένια Σιδέρη δίνουν διάλεξη με θέμα "Η Χημεία των Μαθηματικών" στις 19.30 στον Ιανό. Όσοι πιστοί προσέλθετε...

Ένα από αυτά είναι ότι τα μαθηματικά αναπτύσσονται στη βάση της λογικής αυτο-συνέπειας. Αρκεί δηλαδή να εμφανίζουν λογική συνοχή και να μπορούν να αποδεικνύονται σε σχέση με τον εαυτό τους, χωρίς να είναι ζητούμενο να ανταποκρίνονται σε κάτι πραγματικό, σε κάτι που αφορά τον *πραγματικό* κόσμο. Αυτό θα ενδιαφέρει ίσως τον θεματοθέτη μας matthias16 μια και έχει να κάνει με το αρχικό του ερώτημα.

Κάτι άλλο ενδιαφέρον έχει να κάνει με ακολουθίες που φαίνονται να επαναλαμβάνονται στο άπειρο, όπως αυτή:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... στο άπειρο.

Δίκαια θα λέγαμε πως το αποτέλεσμα μιας τέτοιας ακολουθίας είναι S=0.

Για κοιτάξτε όμως τι συμβαίνει αν τη γράψω έτσι:

S = 1 + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) ...

Κατ' ανάγκη το αποτέλεσμα είναι S=1. Δηλαδή μόλις απέδειξα ότι 0=1!

Και δεν τελειώσαμε. Γιατί αν τη γράψω έτσι:

S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ....)

Δηλαδή S = 1 - S ή 2S = 1 παίρνουμε S = 1/2!

Τρία διαφορετικά αποτελέσματα για την ίδια ακολουθία. Για τέτοιες λοιπόν ακολουθίες που εκτείνονται στο άπειρο, το αποτέλεσμα φαίνεται να εξαρτάται από τον τρόπο που ο *παρατηρητής* θέλει να τις δει...

Καλημέρα
Unseen

Στον κόσμο του Πνεύματος είμαστε πάντα στην αρχή.

S=T_P(2+T_P(2+T_P(2+.....άπειροι όροι

ΦΑΙΝΕΤΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΗ ΑΛΛΑ ΣΤΗΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ ΑΝ ΥΨΩΣΟΥΜΕ ΣΤΟ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ, ΕΧΟΥΜΕ:

S^2=S+2

ΛΥΝΟΝΤΑΣ ΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑ, ΠΕΡΝΟΥΜΕ 2.
ΑΡΑ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΠΟΥΜΕ ΟΤΙ ΕΝΑΣ ΤΕΤΟΙΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ ΜΕ ΑΠΡΕΙΡΑ "ΣΤΟΙΧΕΙΑ" ΕΙΝΑΙ ΑΚΕΡΑΙΟΣ!!

Υ.Γ.: ΠΕΡΑΣΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥ ΑΠΘ

Χάθηκαν τα απλά μαθηματικά 1+1=3

quote:

---

Υ.Γ.: ΠΕΡΑΣΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΤΟΥ ΑΠΘ

---

Συγχαρητήρια, φίλε μου!
Άντε, καλό πτυχίο!
Και κάνε μας και κανένα ιδιαίτερο...

Να σου πω την αλήθεια, την ακολουθία που αναφέρεις δεν την κατάλαβα...
Της Unseen όμως την κατάλαβα!

quote:

---

Τρία διαφορετικά αποτελέσματα για την ίδια ακολουθία. Για τέτοιες λοιπόν ακολουθίες που εκτείνονται στο άπειρο, το αποτέλεσμα φαίνεται να εξαρτάται από τον τρόπο που ο *παρατηρητής* θέλει να τις δει...

---

Αυτό με τον παρατηρητή έχει και πολύ μεγάλη σχέση με την πλάνη της αλήθειας που συζητάμε και με το μπερδεμένο elo!
Υποθέτω όμως ότι μπορεί να είναι κι αυτή μια αιτία που ορισμένοι άνθρωποι αποδίδουν καλύτερα στα Μαθηματικά κι άλλοι όχι.
Κατά πόσο δηλαδή μπορούν να παρατηρήσουν ένα φαινόμενο μέσα από διαφορετικές οπτικές...

In anticipation of my resurrection...

Συγχαρητήρια βρε matthias16 και καλές σπουδές!!!!

Και μην ξεχνάς κι εμάς τους κοινούς θνητούς. Ό,τι ενδιαφέρον συναντάς, γράφε το και σ' εμάς να φωτιζόμαστε.

Συγχαρητήρια και πάλι
Unseen

ΥΓ Χωρίς πλάκα, τα μαθηματικά είναι ένας εξαιρετικός τρόπος να γυμνάσει κανείς τη σκέψη του, κυρίως συνθετικά. Και ένας λόγος που οι μαθηματικοί γίνονται δυσνόητοι είναι ότι λύνουν χωρίς να εξηγούν επαρκώς τα βήματα που ακολουθούν και όταν πια φτάνουν στη λύση, κανείς δεν έχει καταλάβει τι έκαναν και πώς. Αυτό συμβαίνει όμως επειδή η σκέψη τους είναι πολύ πυκνή, πολύ συνθετική.

Εγώ πάντως σε κατάλαβα καλέ μου matthias16. Χρόνια εξασκούμαι, βλέπεις...

Στον κόσμο του Πνεύματος είμαστε πάντα στην αρχή.

quote:

---

Κάτι άλλο ενδιαφέρον έχει να κάνει με ακολουθίες που φαίνονται να επαναλαμβάνονται στο άπειρο, όπως αυτή:

S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ... στο άπειρο.

Δίκαια θα λέγαμε πως το αποτέλεσμα μιας τέτοιας ακολουθίας είναι S=0.

Για κοιτάξτε όμως τι συμβαίνει αν τη γράψω έτσι:

S = 1 + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) ...

Κατ' ανάγκη το αποτέλεσμα είναι S=1. Δηλαδή μόλις απέδειξα ότι 0=1!

Και δεν τελειώσαμε. Γιατί αν τη γράψω έτσι:

S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 ....)

Δηλαδή S = 1 - S ή 2S = 1 παίρνουμε S = 1/2!

Τρία διαφορετικά αποτελέσματα για την ίδια ακολουθία.

---

Impious Varmint

Ασφαλώς δεν είμαι μαθηματικός. Εναλλασσόμενες σειρές όπως η S όμως ανήκουν στις ακολουθίες που ονομάζονται "αποκλίνουσες", οι οποίες δεν έχουν ένα μοναδικό άθροισμα. Για να βρούμε το άθροισμά τους, πρέπει να προσδιορίσουμε την ακολουθούμενη διαδικασία αρίθμησης (να ορίσουμε τις παρενθέσεις δηλαδή), πράγμα που δεν ισχύει όταν υπολογίζουμε το άθροισμα μιας πεπερασμένης ακολουθίας όρων.

Υπάρχουν και οι αποκαλούμενες συγκλίνουσες ακολουθίες ή σειρές, γιατ ις οποίες ο νορβηγός μαθηματικός Νιλς Άμπελ είχε πει κάποτε πως είναι "επινόηση του διαβόλου και (πως) οποιαδήποτε απόδειξη βασίζεται σε αυτές είναι απαράδεκτη. Χρησιμοποιώντας συγκλίνουσες σειρές, μπορεί κανείς να εξάγει όποιο συμπέρασμα θέλει και είναι γι' αυτόν ακριβώς το λόγο που η χρήση τους έχει οδηγήσει σε τόσα λογικά σφάλματα και παράδοξα".

Καλημέρα
Unseen

Στον κόσμο του Πνεύματος είμαστε πάντα στην αρχή.

σε αυτό:

και σε αυτό:

και σε αυτό:

και σε αυτό:

και, τέλος, σε αυτό:

Στον κόσμο του Πνεύματος είμαστε πάντα στην αρχή.

Πολύ ωραία τα ... μαθηματικά σου ανέκδοτα.
Αλλά το πιο σημαντικό είναι ότι επανενεργοποίησες ένα πολύ ενδιαφέρον θέμα.΄

Φιλικά

Αγαπητέ μου Κηφέα, για μένα αυτό το θέμα είναι πάντα ενεργό, όμως τα μαθηματικά δεν είναι το αντικείμενό μου και αναγκαστικά η συμμετοχή μου περιορίζεται στα όσα (λίγα) μπορώ να κατανοήσω απ' αυτά.

Καλημέρα,
Unseen

Στον κόσμο του Πνεύματος είμαστε πάντα στην αρχή.

Διάβασα τα προηγούμενα μηνύματά σας και πρέπει να ομολογήσω ότι με ικανποίησε πολύ και το επίπεδο συζητήσεώς σας, αλλά και το περιεχόμενό τους.

Θα προσπαθήσω να μην επαναλάβω πράγματα που έχετε ήδη αναφέρει, χωρίς όμως να σας διαβεβαιώσω, όμως, ότι θα τα καταφέρω.

Παραθέτω αμέσως την άποψή μου για την προέλευση των Μαθηματικών:

Βασικές ανάγκες της ζωής οδήγησαν τους απομακρυσμένους προγόνους μας στον δρόμο για την δημιουργία των "αντικειμένων" τα οποία σήμερα ονομάζουμε αριθμούς.

Το πρώτο στάδιο της πορείας της ανθρώπινης δραστηριότητας
χαρακτηρίζεται από τη δημιουργία των λεγόμενων:
Απόλυτων αριθμών ή αριθμών πλήθους ή πληθάριθμων.

Οι απόλυτοι αριθμοί ή πληθάριθμοι εκφράζουν πλήθη: 1,2,3, . . .

Εκτός από την ανάγκη της συγκρίσεως συνόλων (που οδήγησε στους πληθάριθμους ή απόλυτους αριθμούς) οι μακρινοί μας πρόγονοι βρέθηκαν και στην ανάγκη να δημιουργήσουν ένα είδος "ιεραρχήσεως", εντός ενός και του αυτού συνόλου αντικειμένων.
Κι’έτσι δημιούργησαν τους τακτικούς αριθμούς.

Οι τακτικοί αριθμοί είναι αριθμοί θέσεως: 1ος, 2ος, 3ος, . . .

Οι απόλυτοι και οι τακτικοί αριθμοί δημιουργήθηκαν συγχρόνως και εν συνδυασμώ μεταξύ τους, εκφράζουν τις δύο "όψεις" (μορφές) των λεγομένων φυσικών αριθμών: 1, 2, 3, . . .

Το "σύνολο" των φυσικών αριθμών συμβολίζεται: Φ .

Κατά την δια μέσου της ιστορίας εξέλιξής τους τα Μαθηματικά ξεκίνησαν από μία τελείως απλοϊκή στάθμη. Άρχισαν, όπως είπαμε, από τους αριθμούς 1, 2, 3, ... και από τα εποπτικώς τελείως απλά γεωμετρικά σχήματα, δηλαδή σημεία, ευθύγραμμα σχήματα, ευθείες, γωνίες, επίπεδα, τρίγωνα, κύκλους, και βαθμιαία έφθασαν σε περίπλοκα κατασκευάσματα.

Κατά την εξελικτική αυτή πορεία οι "αριθμοί" και τα "σχήματα" δεν αναπτύχθηκαν ανεξάρτητα, αντίθετα μάλιστα συνδέθηκαν μεταξύ τους με την έννοια του "μέτρου".

Η παραπάνω εξέλιξη κατά την πορεία της δημιουργίας των Μαθηματικών υπήρξε αργή, αλλά νωρίς αποδείχθηκε η μεγάλη σημασία των αποτελεσμάτων τους.

Έτσι π.χ., οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι πέτυχαν εκπληκτικά αποτελέσματα στην Αστρονομία με την πρόβλεψη των εκλείψεων της Σελήνης.

Μια νέα εποχή στην εξέλιξη των Μαθηματικών σημειώνεται με την εμφάνιση στην ιστορική σκηνή των αρχαίων Ελλήνων, οι οποίοι, όχι μόνο ανέπτυξαν περαιτέρω τα τότε Μαθηματικά, αλλά και ανύψωσαν αυτά σε επιστήμη, με την σύγχρονη έννοια του όρου.

Οι Έλληνες πρώτοι αντιλήφθηκαν τι σημαίνει "απόδειξη" προκειμένου για μια "πρόταση", αντιλήφθηκαν δηλαδή ότι η αλήθεια μιας πρότασης μπορεί να αναχθεί σε λίγες απλές προτάσεις, των οποίων η αλήθεια είναι "φανερή" (τα "αξιώματα") και μερικές άλλες, των οποίων η αλήθεια είναι ήδη γνωστή.

Με τον τρόπο αυτό οι Έλληνες κατόρθωσαν, για πρώτη φορά, να δημιουργήσουν ένα σύστημα από "βασικά γεγονότα" (π.χ. ότι: δια δύο σημείων διέρχεται μία μόνον ευθεία) και να αναπτύξουν τις αρχές της λογικής.

Δημιούργησαν έτσι μια συστηματική, επαγωγική οικοδόμηση της λεγόμενης σήμερα Ευκλείδειας Γεωμετρίας, η οποία παρέμεινε ως είχε (εκτός μερικών συμπληρώσεων) επί δύο χιλιετηρίδες σαν το υπόδειγμα της Επιστήμης. Κατά το διάστημα αυτό δεν καταβλήθηκαν προσπάθειες προς την κατεύθυνση της δημιουργίας των γνωστών σήμερα κλάδων της Άλγεβρας και της Αναλύσεως. Το ενδιαφέρον των Ελλήνων περιορίστηκε κυρίως στις βασικές ιδιότητες των φυσικών αριθμών και στα προβλήματα που αφορούν στην διαιρετότητα και τους πρώτους αριθμούς.

Ασχολήθηκαν, επίσης, με τα συνηθισμένα κλάσματα, αλλά δεν συνέλαβαν την ιδέα να ορίσουν αρνητικούς αριθμούς. Παρ'όλα αυτά και σε συνδυασμό με την μελέτη του ορθογωνίου - ισοσκελούς τριγώνου αντιλήφθηκαν, ότι τα κλάσματα δεν ήταν επαρκή για την περιγραφή όλων των μεγεθών, παρατήρησαν δηλαδή ότι η σχέση μεταξύ καθέτου πλεύρας και της υποτείνουσας ορθογωνίου - ισοσκελούς τριγώνου δεν είναι δυνατόν να παρασταθεί με κλάσμα. Από αυτό όμως δεν οδηγήθηκαν στην σκέψη ότι το πεδίο των κλασμάτων θα έπρεπε να επεκταθεί κατά τρόπο, ώστε τα στοιχεία του νέου, επεκτεταμένου, πεδίου να είναι δυνατόν να εκφράσουν και σχέσεις όπως η παραπάνω μεταξύ καθέτου πλευράς και υποτεινούσης του ορθογωνίου - ισοσκελους τριγώνου.

Με άλλες λέξεις δεν προχώρησαν στην δημιουργία των αρρήτων αριθμών, πράγμα, το οποίο θα ήταν ένα βήμα προς την Αλγεβρα και την Ανάλυση.

Αντίθετα μάλιστα γεωμετρικοποίησαν, αν μπορούμε να πούμε, την Άλγεβρα.

Έτσι προέκυψε μια θεωρία, ισοδύναμη προς την θεωρία των πραγματικών αριθμών, αλλά αυτή η γεωμετρικοποίηση προκάλεσε μία τέτοια επιπλοκή, η οποία τελικά οδήγησε στην αποτελμάτωση των ελληνικών Μαθηματικών.

Αυτά προς το παρόν, όσον αφορά την χαραυγή των Μαθηματικών.

Φιλικά

Κηφεύς

Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.

Σήμερα θα σας απασχολήσω με την παράσταση των αριθμών.

1) Παράσταση των αριθμών με Προσθετικά συστήματα:

Το πλέον γνωστό προσθετικό σύστημα είναι το ρωμαϊκό.

Κατά την ρωμαϊκή γραφή των φυσικών αριθμών χρησιμοποιούνται
τέσσερα βασικά σύμβολα και τρία βοηθητικά όπως φαίνεται αμέσως παρακάτω:

Ρωμαϊκά σύμβολα των αριθμών:
Βασικά σύμβολα I , X , C , M
Βοηθητικά σύμβολα V , L , D
Παράδειγμα: MDCCLXVIII , 1768

Τα βασικά σύμβολα: I , X , C , M δηλώνουν (αντιστοίχως) τους αριθμούς: 1 , 10 , 100 , 1000 .

Τα βοηθητικά σύμβολα: V , L , D τους: 5 , 50 , 500 .

Για την γραφή ενός αριθμού σε ένα προσθετικό σύστημα τοποθετούνται επί ευθείας βασικά και βοηθητικά σύμβολα.

Στην ρωμαϊκή, ειδικά, γραφή, για να βρούμε τον αριθμό, τον οποίο δηλώνει μια παράσταση, προσθέτομε τους αριθμούς, τους οποίους δηλώνουν τα σύμβολα της παραστάσεώς του.

Π.χ. VIII σημαίνει: 5 + 3 , δηλαδή 8 ,
XI σημαίνει: 10 + 1 , δηλαδή 11 κ.ο.κ.

Κατά την γραφή τηρείται ο εξής κανόνας:
Από δύο σύμβολα, τα οποία δηλώνουν διαφόρους μεταξύ τους φυσικούς αριθμούς, γράφεται αριστερά εκείνο, το οποίο δηλώνει τον μεγαλύτερο.

Εξαίρεση, για λόγους οικονομίας, γίνεται μόνο προκειμένου για τα βασικά σύμβολα, δηλαδή: Ένα βασικό σύμβολο μπορεί να γραφεί αριστερά ενός βασικού συμβόλου "μικρότερης αξίας".

Π.χ. για τον 9 γράφομε VIIII (=5 + 4), αλλά και IX. Εδώ όμως νοείται IX = 10 – 1 = 9 .

Επί πλέον, στο σύστημα αυτό, αριστερά βασικού συμβόλου επιτρέπεται να γραφεί το πολύ ένα επίσης βασικό μικρότερης αξίας, αλλά ποτέ βοηθητικό.
Π.χ. 950 = CML = (1000 – 100) + 50 και όχι: LM
1959 = MCMLIX = 1000 + (1000 – 100) + 50 + (10 – 1).

Το ρωμαϊκό σύστημα, και γενικότερα, η γραφή με οιοδήποτε
προσθετικό σύστημα, των φυσικών αριθμών μειονεκτεί, διότι, προκειμένου περί "αρκετά" μεγάλων αριθμών, έχομε πολύ επιμήκεις παραστάσεις (για τη ρωμαϊκή γραφή αυτό συμβαίνει για φυσικούς αριθμούς μεγαλύτερους του 10000).

2) Παράσταση των αριθμών με Συστήματα θέσεως:

Το δεκαδικό σύστημα:
Εντελώς διαφορετικός είναι ο τρόπος γραφής των φυσικών αριθμών,
στα λεγόμενα, συστήματα θέσεως.

Ένα σύστημα αυτού του είδους είναι και αυτό που χρησιμοποιείται σήμερα.

Το σύστημα αυτό μετέδωσαν στην Ευρώπη οι Άραβες, οι οποίοι το παρέλαβαν από τους Ινδούς. Στο σύστημα αυτό οι φυσικοί αριθμοί (καθώς και οι λεγόμενοι δεκαδικοί) γράφονται με την χρήση των εξής 10 συμβόλων ("ψηφίων"):

0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9

Ο τρόπος γραφής των φυσικών αριθμών κατά το ανωτέρω σύστημα θέσεως είναι γνωστός σε όλους, π.χ., ο 321 σημαίνει:
3 εκατοντάδες + 2 δεκάδες + 1 μονάδα

Στο σύστημα αυτό χρησιμοποιείται σαν βάση (όπως λέγεται) ο 10.
Ο παριστάμενος αριθμός νοείται ως άθροισμα μονάδων διαφόρων βαθμίδων:

Μονάδων , δεκάδων , εκατοντάδων , χιλιάδων κ.ο.κ.

Ακριβώς διότι η βάση του συστήματος αυτού είναι ο 10, ονομάζεται δεκαδικό.

Το δυαδικό σύστημα:
Αυτό είναι το σύστημα θέσεως με βάση το 2.
Τα απαιτούμενα ψηφία για την γραφή των φυσικών αριθμών στο σύστημα αυτό είναι δύο τα: 0 , 1 .

Οι τιμές θέσεως των ψηφίων ενός φυσικού αριθμού, γραμμένου στο δυαδικό σύστημα είναι οι δυνάμεις του 2, δηλαδή:
20 = 1 , 21 = 2 , 22 = 4 , 23 = 8 , 24 = 16 κ.ο.κ.
(μονάδες , δυάδες , τετράδες , οκτάδες κτλ.) .

(Προσοχή: Εδώ υπάρχει μία δυσκολία που οφείλεται στην γραφή με τον υπολογιστή στο πρόγραμμα γραφής του forum. Ο αριθμός που βρίσκεται δεξιά του 2, είναι ο εκθέτης της δυνάμεως).

π.χ. 20=1 δηλ. δύο στην μηδενική ίσον ένα.
21=2 δηλ. δύο στην πρώτη ίσον δύο.
22=4 δηλ. δύο στο τετράγωνο (στην δευτέρα) ίσον τέσσερα.
23=8 δηλ. δύο στον κύβο (στην τρίτη) ίσον οκτώ.
24=8 δηλ. δύο στην τετάρτη ίσον δεκαέξη.

Βεβαίως ο συμβολισμός ενός φυσικού αριθμού στο δυαδικό σύστημα είναι, σχετικά, αρκετά επιμήκης ,

π.χ. ο 7 στο δυαδικό σύστημα γράφεται:
1 . 22 + 1 . 21 + 1 . 20 ( = 4 + 2 + 1 = 7 ) και συμβολίζεται:
(111)2 είτε και: LLL, επειδή στο δυαδικό σύστημα το 1 παρίσταται και με το L.

Επίσης είναι: 9 = 1 . 23 + 0 . 22 + 0 . 21 + 1 . 20 =L00L,
και 22 = 1 . 24 + 0 . 23 + 1 . 22 + 1 . 21 + 0 . 20 =L0LL0.

Το δυαδικό σύστημα χρησιμοποιείται στους ηλεκτρονικούς υπολογιστές.

ΥΓ.: Η αιτία καθυστερήσεως αποστολής άλλων μηνυμάτων οφείλεται στην παραπάνω δυσκολία γραφής των δυνάμεων, των κλασμάτων, των ριζών κ.τ.λ. Το Σαββατοκύριακο θα κάνω κάτι δοκιμές, αν μπορέσω να περάσω από το Word στην γραφή του forum. Εάν δεν βρούμε τρόπο θα είναι δύσκολη έως αδύνατη η γραφή εξισώσεων και διαφόρων άλλων παραστάσεων.

Φιλικά

Κηφεύς

Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.

Στο δεύτερο μήνυμά μου, ανέφερα το τι ήταν αυτό που οδήγησε τον άνθρωπο στο να εφεύρει ή ανακαλύψει τα Μαθηματικά:

quote:

---

Βασικές ανάγκες της ζωής οδήγησαν τους απομακρυσμένους προγόνους μας στον δρόμο για την δημιουργία των "αντικειμένων" τα οποία σήμερα ονομάζουμε αριθμούς.
Το πρώτο στάδιο της πορείας της ανθρώπινης δραστηριότητας
χαρακτηρίζεται από τη δημιουργία των λεγόμενων:
Απόλυτων αριθμών ή αριθμών πλήθους ή πληθάριθμων.

---

Ας δούμε πρώτα την πρώτη (χρονολογικά) περίοδο των Μαθηματικών στην Ελλάδα. Αυτή είναι από τον Θαλή μέχρι τον Πυθαγόρα.

Μέχρι την εποχή αυτή, η μαθηματική γνώση, ανεξάρτητα από την προέλευσή της, μεταδίδεται από τους ιερείς της Αιγύπτου, τους μαθηματιούς της Βαβυλώνος, της Φοινίκης και άλλων.

Ο Ηρόδοτος αναφέρει ότι από τον 7ο π.Χ. αιώνα οι Έλληνες επισκέπτονται την Χαλδαία: "Οι μεν, ως εικός κατ'εμπορίην, οι δε στρατευόμενοι, οι δε τινες και αυτής της χώρης θεηταί", (Ηρόδοτος ΙΙΙ, 139, Ι).

Όλοι οι διάσημοι επιστήμονες, φιλόσοφοι και μαθηματικοί, κατά την περίοδο αυτή, σπούδασαν, ως επί το πλείστον, στην Αίγυπτο.

Ο Πρόκλος αναφερόμενος στην Γεωμετρία λέγει:
"Θαλής δε το πρώτον εις Αίγυπτον ελθών μετήγαγεν εις την Ελλάδα την θεωρίαν ταύτην"

Ο Ιάμβλιχος στην Εισαγωγή του στην Αριθμητική Νικομάχου μιλάει περί αναλογίας: "Εύρημα δε αυτήν φασιν είναι Βαβυλωνίων και δια Πυθαγόρου πρώτου εις Έλληνας ελθείν".

Ο Διόφαντος γράφει: "...απογράψαι τοιούτον αριθμόν κατά τάξιν της Ινδικής μεθόδου".

Πρώτος μαθηματικός αυτής της περιόδου φέρεται ο Θαλής (624-546π.Χ.).
Κατά την παράδοση αυτός χρησιμοποίησε την απόδειξη και έθεσε μαθηματικές προτάσεις, ώστε να θεωρείται ο θεμελιωτής της ελληνικής Μαθηματικής επιστήμης. Ο βιογράφος του Διογένης Λαέρτιος δεν αναφέρει ότι ασχολήθηκε με τα Μαθηματικά, όμως, λέγει ότι ασχολήθηκε με τους αστρονομικούς υπολογισμούς.

Εκτός όμως από τις έμμεσες αυτές ενδείξεις, για το ότι ασχολήθηκε σοβαρά με τον αριθμητικό λογισμό, έχομε και την μαρτυρία του Ιάμβλιχου, ο οποίος στην Εσαγωγή του περί της Αριθμητικής του Νικομάχου λέγει: "Το δη ποσόν, όπερ εστίν τον αριθμόν, Θαλής μεν μονάδων σύστημα ωρίσατο, κατά το Αιγυπτιακόν αρέσκον, όπου εφιλομάθησεν".

Έτσι ο θαλής, ο οποίος φέρεται κυρίως ως Γεωμέτρης, είναι και ο δάσκαλος της Αριθμητικής και Λογιστικής στην Ιωνία και με αυτόν τον τρόπο δημιουργούνται από τους μαθητές του Θαλή, ειδικοί στην Λογιστική και Αριθμητική.

Οι μαθηματικοί μαθητές του Θαλή αγνοούνται, διότι διατηρήθηκαν μόνο τα ονόματα των φιλοσόφων. Αλλά και αυτοί, όπως ο Αναξίμανδρος ο Μιλήσιος, ο μαθητής του Αναξιμένης ο Μιλήσιος, ο μαθητής του Αναξαγόρας ο Κλαζομένιος, αν και τίποτα το νέο δεν αναφέρεται ότι πρόσθεσαν, όμως, ήταν μελετητές και δάσκαλοι των Μαθηματικών.

Ο Αναξαγόρας μάλιστα φαίνεται ότι έφθασε πρώτος στην έννοια του συνεχούς και ασυνεχούς. Λέγεται ότι δίδασκε ότι στη φύση δεν υπάρχει ούτε απείρως μέγα ούτε απείρως μικρό, αλλά από το μεγάλο υπάρχει μεγαλύτερο και από το μικρό υπάρχει μικρότερο.

Κατά την εποχή που οι Ίωνες δίδασκαν τον λογισμό του Θαλή και των μαθητών του, στην Αθήνα τον γνώριζαν.

Ο Διογένης Λαέρτιος γράφει: "Έλεγε δε (Σόλων) τους παρά τοις τυράννοις δυναμένους, παραπλησίους είναι ταις ψήφοις ταις επί των λογισμών".

Φιλικά

Κηφεύς

Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.

Σήμερα θα δούμε ποιό ήταν (περιληπτικά) το μαθηματικό έργο των Πυθαγορείων.

Ο Πυθαγόρας (580-490 π.Χ.) είναι ο θεμελιωτής του λογισμού και των Μαθηματικών , και ο ιδρυτής της θεωρίας των Αριθμών.

Και αυτός , όπως οι Ίωνες φιλόσοφοι, ταξίδεψε, όπως είναι γνωστό, στην Αίγυπτο. Αφού έμαθε την γλώσσα των Αιγυπτίων, μυήθηκε σε όλες τις γνώσεις τους, εισήλθε στα άδυτα, μελετησε τις βίβλους και τέλος έγινε μαθητής του Αναξίμανδρου.

Ο Πυθαγόρας αφού παρέλαβε τις Αριθμητικές γνώσεις των Αιγυπτίων και Βαβυλωνίων εξύψωσε τα Μαθηματικά σε επιστήμη και την καθιέρωσε σαν θεμέλιο κάθε άλλης επιστήμης."ούτω και επί των προλεχθεισών επιστημών ούσης μεν γαρ γεωμετρίας ανάγκη και την αριθμητικήν συνεπιφέρεσθαι..." (Νικόμαχος Γερασινός - Εισαγωγή εις την Αριθμητικήν ΕΑ., Α, ΙΥ,4).

Διαίρεσε την Αριθμητική σε Αριθμητική και μουσική και την απλοποίησε ορίζοντας την μεθοδική και την στοιχείωση, ώστε να μεταδίδονται εύκολα οι μαθηματικές γνώσεις.

Τέλος ο Πυθαγόρας γίνεται ιδρυτής ιδιαίτερης σχολής και οι οπαδοί του καλούνται Πυθαγόρειοι.

Το έργο του Πυθαγόρα συνεχίζουν οι μαθητές του:
"Ευρίσκονται γουν πολλοί των Πυθαγορείων αυτή κεχρημένοι, ώσπερ Αρισταίος ο Κροτωνιάτης και Τιμαίος ο Λοκρός και Φιλόλαος και Αρχύτας οι Ταραντίνοι και άλλοι" (Ιάμβλιχος - Εισαγωγή εις την Αριθμητικήν του Νικομάχου).

Επισης σαν μαθητές που ασχολήθηκαν με την Αριθμητική αναφέρει ο Ιάμβλιχος τον Πρόρο και και τον Μέγγελο.

Η σχολή του Πυθαγόρα ασχολήθηκε σοβαρά με την θεωρία των αριθμών. Μελέτησε τις γενικές ιδιότητές τους και κατόπιν τις ειδικές.

Ο Αρχύτας ασχολήθηκε με τις γενικές ιδιότητες των αριθμών και τις ειδικές μέχρι του δέκα και έγραψε το βιβλίο "η δεκάς" (Ιάμβλιχος). Συνεχίζει ο Φιλόλαος και αμέσως ο Σπεύσσιπος "περι ής (δεκάδος) και Αρχύτας εν τω περί της δεκάδος και Φιλόλαος εν τω περί φύσιος πολλά δεξίασιν" (Θέων Σμυρναίος). Ακολουθούν ο Ίππασος, ειδικός στις αναλογίες, ο Εύδοξος μαθητής του Αρχύτα και ο Θυμαρίδας.

Το έργο των Πυθαγορείων υπήρξε πολύ μεγάλο. Αυτοί όχι μόνο θεμελίωσαν την Αριθμητική και τον λογισμό, αλλά και μπόρεσαν να αντιμετωπίσουν την κρίση των Μαθηματικών που παρουσιάστηκε κατά το 540-470 π.Χ., την οποία ο Πυθαγορικός Παρμενίδης προκάλεσε με τις περί όντος αντιλήψεις του. Στο σημείο αυτό παραμένει άγνωστο ακόμη το θαυμάσιο έργο του Ζήνωνα του Ελεάτη, μαθητού του Παρμενίδη,(Λίγα μόνο γι'αυτό μας πληροφορεί ο πλατωνικός Σιμπλίκιος από την Κιλικία, σχολιαστής του Αριστοτέλη).

Δυστυχώς στους μαθητές του Πυθαγόρα δεν επιτρεπόταν να γράψουν και γι'αυτό δεν υπάρχουν γραπτά μνημεία του θαυμάσιου έργου τους.

Τον 5ο αιώνα οι Πυθαγόρειοι κινούμενοι από ανάγκη έγραψαν μόνο Γεωμετρία. Αυτό έδωσε το θάρρος και σε άλλους Πυθαγορείους να ασχοληθούν με την συγγραφή, αλλά και πάλι Γεωμετρίας, και τούτο διότι:
1) Οι γεωμετρικές γνώσεις είχαν έλθει πλέον στην δημοσιότητα και έτσι αυτοί που έγραφαν αφενός δεν παρέβαιναν αμέσως τον όρκο τους, αφετέρου δεν δεχόντουσαν κριτική.
2) Την εποχή αυτή η Πυθαγόρεια Αριθμητική περνούσε κρίση και δημιουργήθηκε η απαίτηση για νέα θεμελίωσή της.

Φιλικά

Κηφεύς

Θα ήθελα να μείνουμε λίγο στον Πυθαγόρα και να εξετάσουμε, για λίγο, την Πυθαγόρεια θεωρία των αριθμών.

Επειδή δε στην αρχαιότητα (αλλά και τώρα) τα Μαθηματικά ήταν και είναι άρρηκτα συνδεδεμένα με την Φιλοσοφία, ίσως αναγκαστούμε να εξετάσουμε και την σύνδεση των Μαθηματικών με την Φιλοσοφία.

Στους Πυθαγόρειους παρατηρούμε, μια αξιοσημείωτη αντιστροφή σε σχέση με τις αντιλήψεις του Αναξίμανδρου, περί απείρου.

Ενώ κατά τον Μιλήσιο σοφό το άπειρο ταυτίζεται με το θείο, οι Πυθαγόρειοι το εξομοιώνουν με το υλικό στοιχείο το ανεπίδεκτο μέτρησης και καθορισμού.

Η καινοτομία αυτή έχει μεγάλη σημασία για την περεταίρω εξέλιξη της φιλοσοφικής διανόησης.

Εισάγεται με αυτήν η έννοια της ύλης, η οποία θεωρείται σαν στοιχείο που αντιστέκεται σε κάθε καθορισμό και σαν πηγή κάθε οντολογικής και ηθικής ατέλειας.

Υπό το πρίσμα αυτό θα δουν αργότερα την ύλη ο Αριστοτέλης και ο Πλάτωνας. Και ο γερμανικός Ιδεαλισμός του 19ου αιώνα όπως και η Νεοκαντιανή φιλοσοφία του 20ου αιώνα βλέπει την ύλη σαν το "άλογο" και ανεπίδεκτο τέρματος και καθορισμού στοιχείο.

Η αντίθεση αυτή που δημιουργήθηκε μεταξύ του απείρου και του πεπερασμένου έδωσε την βάση να φανεί η πραγματικότητα από την αντιθετική προοπτική. Οι Πυθαγόρειοι είδαν την πραγματικότητα σαν σειρά διαλεκτικών αντιθέσεων και δημιούργησαν έτσι ορισμένες αντιθετικές συστοιχίες.

Τέτοιες είναι οι αντιθέσεις, τις οποίες απαρτίζουν σαν αντιτιθέμενοι πόλοι:
Πέρας – άπειρον , περιττόν – άρτιον , έν – πλήθος , δεξιόν – αριστερόν , άρρεν – θήλυ , ηρεμούν – κινούμενον , ευθύ – καμπύλον , φως – σκότος , τετράγωνον – ετερόμηκες , αγαθόν – κακόν .

Με αυτές τις συστοιχίες τέθηκε η βάση για να στηριχθεί η αντίληψη ότι στον κόσμο υπάρχουν δύο αντιτιθέμενα στοιχεία (δυϊσμός).

Κατά τους Πυθαγορείους ο κόσμος δημιουργείται αφού κατ’αρχάς δημιουργηθεί το έν.

Το έν, το οποίο δημιουργείται κατά την πρώτη αρχή "το πρώτον αρμοσθέν", έλκει προς αυτό το άπειρο και δίνει σ’αυτό πέρας.

Επομένως οι Πυθαγόρειοι σαν απαρχή της δημιουργίας ελάμβαναν ένα αρχικό μοναδικό δεδομένο, το οποίο διαστελλόταν συνεχώς περιλαμβάνοντας μέσα στον εαυτό του το άπειρο.

Είναι εκπληκτικό ότι και οι νεώτατες φυσικές θεωρίες της σύγχρονής μας εποχής θεωρούν το σύμπαν σαν σφαίρα διαστελλόμενη, η οποία αφού ξεκίνησε από ένα αρχικό πυρήνα, εξακολουθεί διαρκώς να διαστέλλεται.

Φιλικά

Κηφεύς

Χαίρομαι επίσης που έδωσες την πρέπουσα έμφαση στον Πυθαγόρα και παρέθεσες κάποια στοιχεία για την Πυθαγόρεια θεώρηση των αριθμών και για τον δυϊσμό.
Όπως φαίνεται, η φιλοσοφία των Πυθαγόρειων επηρέασε πάρα πολύ την σύγχρονη σκέψη τόσο όσον αφορά την ύλη όσο και για το διαστελλόμενο σύμπαν.

Θα ήθελα να θέσω δύο ερωτήματα που μου δημιουργήθηκαν από τα προηγούμενα μηνύματα σου κι οι απαντήσεις σου θα με βοηθούσαν:

Αναφέρθηκες στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης κι έδωσες κάποια παραδείγματα συμβολισμού κάποιων τυχαίων αριθμών μέσω του συγκεκριμένου συστήματος.
Ενώ κατάλαβα το "θεωρητικό" κομμάτι, κολλάω λίγο στο κομμάτι των υπολογισμών, ειδικά με την ανάγνωση του 9.

Έστω ότι θέλω να γράψω τον αριθμό 19.

Σύμφωνα με την δική μου λογική, αυτός θα γραφεί ως εξής:

19 = 1 . 24 + 1 . 21 + 1 . 20

Αυτό είναι σωστό;

Επίσης, σε κάποιο σημείο αναφέρεις την βάση των Νεπερείων λογαρίθμων e, την οποία αγνοώ εντελώς.
Επειδή η κατεύθυνση μου δεν είναι αυτή των θετικών επιστημών και θα ήθελα να μάθω κάποια πράγματα περισσότερα, θα μπορούσες να επεκταθείς σ' αυτό το θέμα;

Εάν έχεις αποφασίσει να το κάνεις στο σύντομο μέλλον και να αναφερθείς πρώτα σε κάποια άλλα ζητήματα, μην διακόψεις τον ειρμό σου.

In anticipation of my resurrection...

quote:

---

Έστω ότι θέλω να γράψω τον αριθμό 19.
Σύμφωνα με την δική μου λογική, αυτός θα γραφεί ως εξής:
19 = 1 . 24 + 1 . 21 + 1 . 20 Αυτό είναι σωστό;

---

Ας κάνω για παράδειγμα τον αριθμό 21.
Οπότε έχουμε:

21 = (1 x 16) + (0 x 8) + (1 x 4) + (0 x 2) + (1 x 1)

Δηλαδή:

21 = (1 x 24) + (0 x 23) + (1 x 22) + (0 x 21) + (1 x 20)

Σωστά;

In anticipation of my resurrection...

Ορισμός του e:

Ας δώσουμε πρώτα τον ορισμό του λογαρίθμου γενικά:

Λογάριθμος ενός αριθμού α είναι αριθμός λ εις τον οποίο υψούμενος
ένας αριθμός β, καλούμενος βάση του λογαρίθμου, μας δίνει τον αριθμό α.

Δηλαδή (περιγραφικά): β στην δύναμη λ, ισούται με α.

Οι πλέον εύχρηστοι στους διάφορους υπολογισμούς λογάριθμοι είναι αυτοί που έχουν σαν βάση το 10, οι οποίοι λέγονται και δεκαδικοί ή κοινοί και συμβολίζονται στα Μαθηματικά με το log.

Οπότε ο ορισμός του δεκαδικού λογαρίθμου γίνεται:
Δεκαδικός λογάριθμος ενός αριθμού α είναι αριθμός λ εις τον οποίο υψούμενος ο 10, μας δίνει τον αριθμό α.

Δηλαδή (περιγραφικά): 10 στην δύναμη λ, ισούται με α.

Στις θεωρητικές εργασίες ευχρηστότεροι είναι οι νεπέρειοι ή φυσικοί λογάριθμοι, που έχουν σαν βάση τον ασύμμετρο αριθμό e ο οποίος εξάγεται από την θεωρία των λογαρίθμων και είναι ίσος με το όριο στο οποίο τείνει η σειρά:

e = 1 + (1/1) + [1/(1x2)] + [1/(1x2x3)] + [1/(1x2x3x4)] + ...

ο οποίος υπολογιζόμενος δίδει την τιμή του e:

e = 2,71828182845904583536...

Oι λογάριθμοι αυτού του τύπου (δηλ. οι Νεπέρειοι), συμβολίζονται με το ln.

Tέλος, δεν υπάρχει σήμερα γεωμετρικός ορισμός του e.

Ο e ορίσθηκε από τον J. Neper, τον 16o αιώνα.

Φιλικά

Κηφεύς

Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.

Σωστή η γραφή του 21.

Βαθμολογία: Άριστα !

Ας συνεχίσουμε, με την Πυθαγόρεια θεωρία των αριθμών:

Ο Αριστοτέλης μας βεβαιώνει ότι πράγματι κατ’αυτόν τον τρόπο ερμήνευαν την δημιουργία του κόσμου:

"φανερώς γαρ λέγουσιν ως του ενός συσταθέντος , είτ’εξ επιπέδων είτ’εκ χροιάς , είτ’εκ σπέρματος , είτ’εξ ων απορούσι ειπείν , ευθύς τα έγγιστα του απείρου είλκετο και επεραίνετο υπό του πέρατος".
(Διότι λέγουν ρητώς, ότι όταν έλαβε υπόσταση το έν, δημιουργηθέν είτε από επίπεδα, είτε από επιφάνειες, είτε από σπέρμα, είτε από συστατικά τα οποία δεν μπορούσαν να ανακαλύψουν, αμέσως εκείνα τα μέρη του απείρου, τα οποία βρισκόντουσαν σε πολύ κοντινή απόσταση (από το έν) είλκοντο και περικλείοντο υπό του πέρατος).

Δεν μπορεί να υπάρξει καμία αμφισβήτηση περί του ότι οι Πυθαγόρειοι έβλεπαν ότι το σύμπαν εξελίχθηκε από έναν απειροστό πυρήνα ο οποίος διαστελλόμενος διαρκώς εξαπλωνόταν σφαιρικά στο άπειρο.

Σε ένα άλλο σημείο των "Φυσικών" (213 β 23) ο Αριστοτέλης λέγει ότι το σύμπαν εκτελεί κάποιο είδος αναπνοής αναπνέοντας το περιβάλλον αυτό άπειρο.

"Είναι δ’έφασαν οι Πυθαγόρειοι κενόν , και επεισιέναι αυτό τω ουρανώ εκ του απείρου πνεύματος ως αναπνέοντι και το κενόν , ο διορίζει τας φύσεις , ως όντος του κενού χωρισμού τινος των εφεξής και της διορίσεως και τούτ’είναι πρώτον εν αριθμοίς . Το γαρ κενόν διορίζειν την φύσιν αυτών".
(Οι Πυθαγόρειοι είπαν ότι υπάρχει το κενό και ότι αυτό υπεισέρχεται στον ουρανό δημιουργημένο σύμπαν) από το άπειρο πνεύμα (τον άπειρο αέρα), διότι πιστεύουν ότι το σύμπαν αναπνέει το κενό, το οποίο (κενό) επιφέρει σε διάφορους χώρους την τοποθέτηση των φυσικών όντων, επειδή (πιστεύουν ότι) το κενό είναι αιτία να χωρίζονται και να διακρίνονται σαν χωριστοί όροι τα μέλη μιας κατά συνέχεια σειράς. Αυτός ο διαχωρισμός συμβαίνει κατ’εξοχήν στην σειρά, την οποία απαρτίζουν οι αριθμοί διότι αυτό διακρίνει την φύση καθενός των αριθμών).

Οι Πυθαγόρειοι συνεχίζουν συγχρόνως και την παράδοση των Μιλήσιων σοφών, η οποία ήταν γνωστή στον Πυθαγόρα κατά την εποχή που κατοικούσε ακόμη στην πατρίδα του τη Σάμο.

Το κέντρο του σύμπαντος από το οποίο ξεκίνησε η δημιουργία του και συνεχίσθηκε η συνεχής διαστολή του, ονόμαζαν οι Πυθαγόρειοι "εστίαν του παντός", "οίκον Διός" και "μητέρα θεών". Στο κεντρικό αυτό σημείο και ο Παρμενίδης τοποθετεί την θεά, η οποία κυβερνά τα πάντα.

Φιλικά

Κηφεύς

Στο σημερινό μήνυμα, συνεχίζω και τελειώνω την Πυθαγόρεια θεωρία των αριθμών.

Ο Πυθαγόρας μετά από πολύχρονες παρατηρήσεις και εξέταση, έφθασε στο συμπέρασμα, ότι στον κόσμο, παρά τις παρατηρούμενες μεταβολές στην ύλη, τα πάντα γίνονται με μαθηματική ακρίβεια και μουσική αρμονία.

Από αυτό προήλθε η κοσμοθεωρία του, ότι τα όντα δεν είναι μόνο τα φαινόμενα, τα σώματα, η ύλη της οποίας βλέπομε τις μεταβολές, αλλά ότι στα σώματα ενυπάρχει και κάτι άλλο, άϋλο και αΐδιο, που δεν υπόκειται στις αρμονίες στον κόσμο. Το κάτι δε αυτό ονόμασε ο Πυθαγόρας αριθμό, χωρίς τον οποίο είναι αδύνατο να νοηθούν τα όντα. Προχωρώντας δε δίδαξε, ότι ο αριθμός είναι η ουσία των όντων.

Αλλά, "το τα σώματα εξ αριθμού είναι συγκείμενα και τον αριθμόν τούτον είναι μαθηματικόν αδύνατόν εστίν" λέγει ο Αριστοτέλης.

Ο αριθμός λοιπόν του Πυθαγόρα δεν είναι μαθηματικός, αν και παρέλαβε αυτόν από τα μαθηματικά. Είναι λέξη συμβολική με την οποία ο Πυθαγόρας δήλωνε το ενυπάρχον στο σώμα "αΐδιο", υπερβατικό στοιχείο, το οποίο δεν χώριζε από τα σώματα.

Όπως δε οι αριθμοί όλοι ανάγονται όλοι στην μονάδα, από την οποία προέρχονται, έτσι και τα στοιχεία που δηλώνονται με τους αριθμούς ανάγονται σε μια πρωταρχική αιτία, την οποία συμβολικά παριστά με την μονάδα "ης ουκ έστι γένεσις".

Η Μονάς είναι αυτός ο Θεός του Πυθαγόρα .

Χάρις στην ύπαρξη αυτής επικρατεί στο Σύμπαν τάξη, συμμετρία και αρμονία.

Αριθμό δε δεν εύρισκε μόνο στα πράγματα, αλλά και στις ιδιότητες και παντού. Τα πάντα είναι σχηματισμένα κατά μίμηση των αριθμών.

Η πρόταση όμως αυτή μεταβάλλεται εύκολα σε μια άλλη, ότι ο αριθμός είναι η ουσία των όντων και περαιτέρω, ότι τα πάντα είναι αριθμός και από αριθμούς συνίστανται.

Εκτός του κόσμου λοιπόν των φαινομένων, ο Πυθαγόρας δεχόταν και έναν άλλο κόσμο αΐδιο, τον μεταφυσικό κόσμο των αριθμών, που τον γνωρίζουμε μόνο με την νόηση και τη διαίσθηση.

Έτσι ο Πυθαγόρας ζητώντας να βρει την αρχή των όντων, όπως πριν από αυτόν οι Ίωνες σοφοί, αντί να βρεί αυτήν στο νερό ή στην φωτιά και εν γένει στην ύλη, όπως εκείνοι, βρήκε αυτήν σε μια άϋλη και αΐδη ουσία, αιτία της επικρατούσας στον κόσμο τάξης.

Όπως δε η Μονάς είναι η αιτία της τάξης στο σύμπαν, έτσι και οι αριθμοί είναι η αιτία (το κινούν αίτιον) της τάξης στο κάθετί.

Έτσι ο Πυθαγόρας αποτελεί τον πρώτο σταθμό της μεταφυσικής κοσμοθεωρίας.

Αλλά οι αριθμοί, συνεχίζει ο Πυθαγόρας, είναι περιττοί και άρτιοι. Εκείνοι μεν είναι πεπερασμένοι, αυτοί δε άπειροι. Αφού δε οι αριθμοί είναι πεπερασμένοι και άπειροι, συνάγεται το συμπέρασμα ότι το πεπερασμένο και το άπειρο είναι τα κύρια συστατικά των αριθμών και "πάντων των πραγμάτων , εξ ών συνέστα ο κόσμος»".

Εδώ σταματάει η κοσμοθεωρία του Πυθαγόρα.

Φιλικά

Κηφεύς

ESOTERICA.gr Forums !

© 2010-11 ESOTERICA.gr