Σημερα, θα αναφερθώ στν Ακαδημία του Πλάτωνος

Η Πυθαγόρεια σχολή έδωσε τους πρώτους συνεργάτες του Πλάτωνα και το κυριότερο έμψυχο υλικό της Ακαδημίας του.

Έτσι υπήρξαν ειδικοί στα Μαθηματικά ο Εύδοξος, Θεόδωρος ο Κυρηναίος, Φιλόλαος και Αρχύτας, οι Ταραντίνοι, Τίμαιος ο Λοκρός, Ίππάσιος, Αρισταίος ο Κροτωνιάτης, Λεωδάμας ο Θάσιος, Θεαίτητος ο Αθηναίος και άλλοι.

Μαρτυρίες για τις εργασίες τους αναφέρουν ο Ιάμβλιχος, ο Πρόκλος κ.ά.

Ο Πλάτωνας γίνεται ιδρυτής δικής του σχολής της Ακαδημίας της οποίας το Μαθηματικό έργο υπήρξε πολύ σπουδαίο.

Πρώτοι συνεργάτες της Ακαδημίας υπήρξαν ο Μαθηματικός Θεόδωρος από την Κυρήνη, ο Θεαίτητος και ο Εύδοξος.

Ο Θεόδωρος υπήρξε Πυθαγορικός μαζί δε με τον Ιπποκράτη τον Χίο αποτελούσαν τους κυριότερους εκπροσώπους της Πυθαγόρειας σχολής την εποχή του Πλάτωνα.

Ο Θεόδωρος είναι αυτός που μετέδωσε τις μαθηματικές γνώσεις των Πυθαγορείων στην Ακαδημία και θεμελίωσε τους ασύμμετρους αριθμούς. Το μαθηματικό του έργο όμως παραμένει άγνωστο, «αλλά μη γεωμέτρης επιθυμείς, έφη, γενέσθαι αγαθός, ώσπερ ο Θεόδωρος;» (Ξενοφώντος Απομνημονεύματα IV, 2,10).

Ο Θεαίτητος (415 – 369 π.Χ.) υπήρξε άριστος μαθηματικός, διότι επαινέθηκε και απ’αυτόν τον Θεόδωρο.

Ο Εύδοξος, μαθητής του Αρχύτα, ήταν σύγχρονος και νεότερος από τον Πλάτωνα. Όντας Ίωνας ίδρυσε στην αρχή σχολή στον Μαρμαρά. Υπήρξε κατόπιν διευθύνον στέλεχος της Ακαδημίας του Πλάτωνα.
Ο Πλάτωνας τον αναφέρει στο Ζ΄ βιβλίο της Πολιτείας του. Ήταν βαθύς μαθηματικός και θεμελιωτής της Μεταφυσικής. Δεν σώζεται το μαθηματικό έργο του, αλλά το 5ο και 12ο βιβλίο των στοιχείων του Ευκλείδη αποδίδεται σ’αυτόν. «Εύδοξος ο Πυθαγόρειος, αριθμός έστιν, είπεν, πλήθος ωρισμένον, διαστείλας είδος και γένος…» (Ιάμβλιχος, Εισαγωγή Νικομάχου, 11).

Ο Εύδοξος από την Κνίδο, Μαθηματικός και Αστρονόμος (408–353 π.Χ.), υπήρξε αυτός που θεμελίωσε οριστικά την Αριθμητική, και την διέσωσε από την κρίση, στην οποία είχε περιέλθει και είναι αυτός που βρήκε μεθόδους ώστε οι συμμετρικοί , ασύμμετροι αριθμοί να είναι αντικείμενο κοινής Αριθμητικής. Τα έργο του Ευδόξου δυστυχώς δεν βρέθηκε ακόμη. Ο σχολιαστής του Ευκείδη Πρόκλος γράφει τα εξής για το V και VI βιβλίο "Τούτο το βιβλίον Ευδόξου Του Κνιδίου του μαθηματικού του κατά τους Πλάτωνος χρόνους γεγονότος είναι λέγεται…".
Εκτός αυτού ο Εύδοξος είναι ο κυριότερος ερευνητής των αναλογιών.

Στον Αρχύτα (430–360 π.Χ.) από τον Τάραντα, μαθηματικό και Πυθαγόρειο φιλόσοφο , ο σχολιαστής του Αρχιμήδη Ευτόκιος αποδίδει την λύση του διπλασιασμού του κύβου. Ο Πλάτωνας όμως αγανάκτησε με τους Εύδοξο, Αρχύτα και Μέναιχμο, επειδή επιχείρησαν να λύσουν το πρόβλημα αυτό με μηχανικά μέσα, διότι θεωρούσε ότι οπισθοδρομούμε στα αισθητά και απομακρυνόμαστε από τον σκοπό των Μαθηματικών.

Επίσης από το διασωθέν έργο του περί μουσικής και από τις μαρτυρίες του Ιάμβλιχου στο σχόλιο «περί Νικομάχου Αριθμητικής» διακρίνεται η έρευνά του περί της αναλογίας. Είναι ο ανάδοχος της αρμονικής αναλογίας και εφευρέτης άλλων τριών αναλογιών. Εκτός των εργασιών του στην θεωρία των αριθμών εργάσθηκε και στην Λογιστική.

ΥΓ: Στο επόμενο μήνυμά μου, τελειώνω με την Ακαδημία του Πλάτωνα.

Φιλικά

Κηφεύς

Με αυτό το μήνυμα τελειώνω με τις πληροφορίες που αφορούν την Ακαδημία του Πλάτωνα:

Ο Σπεύσιππος, ο πρώτος διάδοχος του Πλάτωνα στην Ακαδημία του, υπήρξε άριστος μαθηματικός.
Ο Διογένης ο Λαέρτιος γράφει "ούτος πρώτος (καθά φησί Διόδωρος εν απομνημονευμάτων πρώτω) εν τοις μαθήμασιν εθεάσατο το κοινόνκαι συνωκείωσε καθόσον ην δυνατόν αλλήλοις". Έγραψε δε το έργο "ο μαθηματικός". Ο Πρόκλος, σχολιαστής του Ευκλείδη, γράφει "…ως οι περί Σπεύσιππον και Αμφίνομον, ηγούμενοι ταις θεωρητικαίς επιστήμαις…". Ο Σπεύσιππος ασχολήθηκε σοβαρά και με την μεθοδολογία της Αριθμητικής και πολλές φορές το μνημονεύει αυτό ο Πρόκλος.

Διάδοχος του Σπεύσιππου υπήρξε ο Ξενοκράτης. "Διεδέξατο δε Σπεύσιππον και αφηγήσατο της Σχολής πέντε και είκοσι έτη… και πλείστα όσα καταλέλοιπε συγγράμματα".

Στους μαθηματικούς της Ακαδημίας ανήκει και ο Σταγιρίτης φιλόσοφος Αριστοτέλης "Ούτος γνησιώτατος των Πλάτωνος μαθητών". Παρά την ειρωνεία προς τις αριθμητικές δοξασίες των Πυθαγορείων και την πίστη ότι τα μαθηματικά εξετάζουν εν μέρει το όν, σε όλα του τα έργα διακρίνονται οι σπουδές του στα Μαθηματικά. Ο ιστορικός των μαθηματικών Γερμανός Χάνκελ διατείνεται ότι τα έργα του είναι εκείνα, τα οποία επαλήθευσαν την υπόθεση ότι οι Αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν το άπειρο και το απειροστό.

Η μαθηματική μόρφωση του Αριστοτέλη διακρίνεται και στην διαμόρφωση της λογικής. Η προσπάθειά του όμως να απαλλάξει την φιλοσοφία από τα Μαθηματικά, η έλλειψη πιθανώς χρόνου να διατρίψει στις περί αριθμών θεωρίες των Πυθαγορείων και του Πλάτωνα στέρησαν την Μαθηματική επιστήμη ίσως από την ευκαιρία να μεταδώσει και να διαφυλάξει αυτός τις αριθμητικές γνώσεις και εργασίες των Πυθαγορείων και της Ακαδημίας του Πλάτωνα.

Ο Αριστοτέλης γίνεται ιδρυτής δικής του σχολής, του Λυκείου. Πολλοί μαθητές του ασχολούνται με τα Μαθηματικά. Μεταξύ αυτών είναι: Ο Εύδημος ο Ρόδιος ο επιλεγόμενος περιπατητικός, ο οποίος έγραψε και ιστορία της Αριθμητικής και ο Άδραστος (400 π.Χ.), ο οποίος ασχολήθηκε με την Αριθμητική.

Ο Μέναιχμος (μαθητής του Πλάτωνα), ήταν ειδικός μαθηματικός. Το έργο του Μέναιχμου συνεχίζουν οι μαθητές του και ο αδελφός του Δεινόστρατος.

Τέλος άλλοι άξιοι μαθητές του Πλάτωνα υπήρξαν: Ο μαθηματικός Ερμόδωρος, ο Ερμότιμος ο Κολοφώνιος και ο Φίλιππος ο Μενδαίος.

ΥΓ.: Αγαπητοί φίλοι, παρ'όλο ότι έχετε ήδη ασχοληθεί διεξοδικά με την "Χρυσή Τομή", στο επόμενο μήνυμά μου θα κάνω μερικές προσθήκες σ'αυτό το θέμα που νομίζω ότι θα είναι αρκετά ενδιαφέρουσες.

Φιλικά

Κηφεύς

Σήμερα θα αναφερθώ στην "Χρυσή τομή" (ή "θεία Αναλογία").
Η "Χρυσή τομή" (που συμβολίζεται με το Φ: Φ ελληνικό κεφαλαίο) δεν είναι άσχετη με το θέμα που ασχολούμαστε (δηλ. το της προελεύσεως των Μαθηματικών), διότι αποτελεί μία από τις αρχαιότερες Μαθηματικές γνώσεις της Αρχαιότητος και της οποίας την προέλευση δύσκολα μπορούμε να την εντοπίσουμε.

Ο Φ είναι ένας αριθμός άρρητος, πραγματικός μη περιοδικός αλγεβρικός αριθμός (δηλ. με άπειρα μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία ή ομάδες ψηφίων και αποτελεί ρίζα αλγεβρικής εξισώσεως).

Ορισμός του Φ:

Ο ορισμός της χρυσής τομής δίδεται ως εξής:

"Εάν σημείο κείμενο επί ευθυγράμμου τμήματος τέμνει αυτό σε δύο τμήματα που ο λόγος του μεγαλυτέρου προς το μικρότερο τμήμα, ισούται με τον λόγο όλου του μήκους του ευθυγράμμου τμήματος προς το μήκος του μεγαλυτέρου τμήματος, τότε λέγομε ότι το ευθύγραμμο τμήμα τέμνεται κατά την χρυσή τομή ή εις μέσο και άκρο λόγο".

Δηλαδή εάν τα δύο τμήματα στα οποία τέμνεται το ευθύγραμμο τμήμα κατά χρυσή τομή είναι μ και ν τότε θα ισχύει η σχέση:

μ/ν = (μ+ν)/μ

Ο λόγος δε αυτός της χρυσής τομής ισούται με:

Φ = 3,2360679775…/2 = 1,6180339887…

Άλλος ορισμός της "Χρυσής Τομής" ή της "Θείας Αναλογίας":

Η Χρυσή Τομή είναι ο αριθμός που είναι ίσος με τον δικό του αντίστροφο αριθμό, συν ένα, δηλαδή :

Φ = (1/Φ) + 1,

με την αξία του να εκφράζεται κοινώς ως:

Φ = 1,6180339887…

(που προκύπτει από την επίλυση της προαναφερθείσης εξίσωσης).

Υπάρχουν δύο γεωμετρικές κατασκευές (λύσεις) της Χρυσής Τομής (με την βοήθεια της Απολλωνίου περιφερείας), τις οποίες δεν μπορώ να παραθέσω (αν και θα το ήθελα) λόγω της δυσκολίας που υπάρχει στην αποτύπωση γεωμετρικών σχημάτων ή μαθηματικών συμβόλων.

Παρατηρήσεις για την Χρυσή Τομή:

Οι Διαγώνιοι κανονικού κυρτού πενταγώνου τέμνονται κατά μέσο και άκρολόγο, δηλ. το σημείο τομής τους είναι η Χρυσή τομή των Διαγωνίων.

Η Χρυσή τομή Φ = 1,618... , παρουσιάζει το παράδοξο να ορίζεται και σαν το όριο μιάς Μαθηματικής σειράς.

Πρόκειται για μια σειρά διαδοχικών αθροισμάτων γνωστή σαν:

"Σειρά Φιμπονάτσι".

Ο Φιμπονάτσι γεννήθηκε στην Πίζα, στην Ιταλία, το 1170. Μεγάλωσε και σπούδασε στην Bugia στη Βόρειο Αφρική, στην Αλγερία, ενώ τελικά επέστρεψε στην Πίζα γύρω στο 1200.
Ο Φιμπονάτσι είχε αναμφίβολα επηρεαστεί και, πιθανόν, εκπαιδευτεί από Άραβες μαθηματικούς κατά τη διάρκεια αυτής της καθοριστικής περιόδου.
Συνέγραψε πολλά μαθηματικά κείμενα και προέβη σε ορισμένες πολύ σημαντικές μαθηματικές ανακαλύψεις, οι οποίες συνέβαλαν στο να γίνει το έργο του πολύ δημοφιλές στην Ιταλία και να τραβήξει έτσι την προσοχή του τότε Αγίου Ρωμαίου Αυτοκράτορα Φρειδερίκου Β΄, ο οποίος τον κάλεσε στο ανάκτορό του στην Πίζα. Ο Φιμπονάτσι πέθανε το 1250.

Για να επανέλθουμε στη σειρά Φιμπονάτσι:

Οι τρείς πρώτοι όροι της σειράς είναι οι αριθμοί 1, 1 και 2.
Όλοι οι επόμενοι όροι προκύπτουν ο καθένάς τους από την άθροιση των δύο προηγουμένων.

Κατά συνέπεια οι πρώτοι όροι της σειράς είναι:

1, 1, (1+1=2), (1+2=3), (2+3=5), (3+5=8), (5+8=13), (8+13=21),
(13+21=34), (21+34=55), (34+55= 89), (55+89=144),
(89+144=233), (144+233=377), (233+377=610) ...

Γράφοντας τη σειρά χωρίς τους υπολογισμούς έχομε:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 ……

Η Χρυσή τομή Φ = 1,618, προκύπτει σαν όριο των πηλίκων του κάθε αριθμού της σειράς προς τον προηγούμενό του. Έτσι έχομε π.χ. για τους τελευταίους 4 αριθμούς που γράψαμε:

233/144 = 1,618055536…

377/233 = 1,618025751…

610/377 = 1,618037135… κ.ο.κ.

Εφιστώ την προσοχή, εδώ, των φίλων αναγνωστών στην εξής παρατήρηση:

Το παράδοξο είναι ότι ενώ η Χρυσή Τομή ορίζεται γεωμετρικά (όπως ανέφερα στην αρχή), εδώ βγαίνει υπολογιστικά από το όριο μιάς σειράς φυσικών αριθμών που χρησιμοποιεί έναν συγκεκριμένο αλγόριθμο.
Δηλαδή με άλλα λόγια η Χρυσή Τομή δείχνει μια υπερβατική ιδιότητα να υπολογίζεται ανακατεύοντας φυσικούς αριθμούς κατά έναν ορισμένο τρόπο.

ΥΓ.: Στο επόμενο μήνυμά μου θα συνεχίσουμε για την Χρυσή τομή.

Φιλικά

Κηφεύς

Συνεχίζω το θέμα της Χρυσής Τομής.

Η Χρυσή τομή χρησιμοποιήθηκε εκτός από τις Πυραμίδες της αρχαίας Αιγύπτου και από τους αρχαίους Έλληνες στην κατασκευή της Ακροπόλεως και πολλών άλλων οικοδομημάτων, αλλά και από τους καλλιτέχνες της Αναγεννήσεως, γιατί θεωρούνταν σαν η πιο αισθητική αναλογία.

Το σώμα του ανθρώπου διαιρείται επίσης από τον ίδιο λόγο.

Όπως είδαμε και οι διαγώνιοι του πεντάκτινου αστέρα διαιρούν η μία την άλλη με τον ίδιο λόγο.

Η Χρυσή τομή και η Ηροδότειος ισότητα σε τετραγωνική κανονική Πυραμίδα.

Ο Ηρόδοτος, ένας από τους πρώτους συγγραφείς της αρχαιότητος, είναι από τους λίγους που αναφέρονται στις Πυραμίδες και στα όσα πληροφορήθηκε γι’αυτές όταν επισκέφθηκε την Αίγυπτο το 448 π.Χ.

Χαρακτηριστική είναι η πληροφορία που είχε πάρει για τη σχέση της ισότητας του εμβαδού κάθε μιάς των τριγωνικών εδρών της Πυραμίδας, προς το τετράγωνο του ύψους της.

Αυτή η πρόταση οδηγεί μετά από μαθηματικούς υπολογισμούς στο συμπέρασμα ότι:

Η Χρυσή τομή επεκτείνεται και επί του λόγου του συνολικού εμβαδού της πυραμίδος προς το εμβαδόν της παραπλεύρου επιφανείας και του λόγου της τελευταίας αυτής ως προς το εμβαδόν της βάσεως.

Η επισήμανση αυτής της σχέσεως, που είναι γνωστή πλέον με την επωνυμία "Ηροδότειος ισότης", αποδεικνύει σαφέστατα, ότι ο πατέρας της Ιστορίας διείδε ή πληροφορήθηκε, ότι η Πυραμίδα, αν και τάφος του Χέοπος, δεν κατασκευάστηκε τυχαία, αλλά ότι οι αρχιτέκτονες θέλησαν και κατασκεύασαν μνημείο στο οποίο, όχι χωρίς αιτία, υλοποίησαν και μαθηματικές σχέσεις.

Άλλοι αξιόλογοι άνθρωποι του πνεύματος που είχαν περίπου το ίδιο κεντρικό σκεπτικό με τον Ηρόδοτο, όσον αφορά τα αίτια της κατασκευής των Πυραμίδων ήταν:
Ο Διόδωρος ο Σικελιώτης που πήγε στην Αίγυπτο το 60 π.Χ., ο Πλίνιος το 77 π.Χ., ο Πρόκλος το 440 μ.Χ., ο Μασσουντί (Κόπτης, πέθανε το 956μ.Χ.) και ο Ιμπραήμ–ίμπν–Ουασήφ–Σαχ (έζησε τον 12ο αιώνα).

Φιλικά

Κηφεύς

Γνωρίζω για την χρησιμοποίηση της Χρυσής Τομής στο χτίσιμο των Πυραμιδών και παλιότερα είχα παραθέσει και στις Συζητήσεις ένα άρθρο το οποίο αναφερόταν σ' αυτό το θέμα.
Δυστυχώς δε μπορώ να το βρω αυτή την στιγμή, θυμάμαι όμως πως - μεταξύ άλλων - περιείχε διάφορους υπολογισμούς και με τον αριθμό φ αλλά και με τον π που πολλαπλασιαζόμενοι με κάποιους αριθμούς έδιναν την περίμετρο της Γης, την απόσταση Γης - Σελήνης κλπ.

Όσον αφορά το ανθρώπινο σώμα και την σχέση του με τον φ, έχεις δίκιο.
Θα μπορούσες να μου θυμίσεις κάποιου λόγους διαφόρων τμημάτων του σώματος μας που έχουν ως πηλίκο τον αριθμό 1,618;

In anticipation of my resurrection...

Ο λόγος της απόστασης από την κορυφή του κεφαλιού μας
μέχρι το πάτωμα, προς την απόσταση από τον αφαλό μας μέχρι το πάτωμα, ισούται με Φ = 1,618.

Ο λόγος της απόστασης από τον ώμο μας μέχρι τις άκρες των δακτύλων μας, προς την απόσταση από τον αγκώνα μέχρι τις άκρες των δακτύλων μας ισούται με Φ = 1,618.

Ο λόγος της απόστασης από τη λεκάνη μας μέχρι το πάτωμα, προς την απόσταση από το γόνατο μέχρι το πάτωμα ισούται με Φ = 1,618.

Φι, Φι και πάλι Φι. Ο καθένας μας είναι ένα ζωντανό μνημείο της Θείας Αναλογίας.

Φιλικά

Κηφεύς

Ξαναδιαβάζοντας το μήνυμά σου, θυμήθηκα και την αναφορά σου στον υπερβατικό αριθμό π.

Επί τη ευκαιρία ο π = 3,14... είναι υπερβατικός αριθμός διότι:
Έχει άπειρα μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία ή ομάδες ψηφίων και δεν αποτελεί ρίζα αλγεβρικής εξίσωσης.

Η Χρυσή τομή Φ = 1,618... είναι άρρητος αριθμός διότι:
Έχει άπειρα μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία ή ομάδες ψηφίων και αποτελεί ρίζα αλγεβρικής εξίσωσης.

Έτσι ορίσαμε και τη διαφορά μεταξύ υπερβατικών και αρρήτων αριθμών.

Έχεις δίκιο και για τον π = 3,14 ότι αποτυπώνεται στην πυραμίδα του Χέοπος.
Θα αναφερθώ και σ'αυτόν κάποια άλλη φορά. Θα ήταν εύκολο να το δείξω αυτό με εξισώσεις που θα συνοδευόντουσαν και από ένα σχέδιο της Πυραμίδος. Αλλά δεν μπορώ λόγω της δυσκολίας αποτύπωσης σχεδίων και εξισώσεων στο forum. Αυτό όμως που μπορώ να κάνω (κάποια άλλη στιγμή), θα ήταν να περιγράψω τις εξισώσεις (στον βαθμό που αυτό είναι εφικτό) και να δώσω και τις ακριβείς διαστάσεις της Πυραμίδας του Χέοπος, ούτως ώστε όποιος ήθελε (χρησιμποιώντας Μαθηματικά του Γυμνασίου) να αποδείξει του λόγου το αληθές.

Αυτό όμως που ήθελα να επισημάνω είναι ότι παρουσιάζεται το ίδιο παράδοξο στον π, με αυτό της Χρυσής τομής. Δηλαδή ενώ κατασκευάζεται και υπολογίζεται με Γεωμετρικό τρόπο (με κανόνα και διαβήτη), ευρίσκεται και υπολογιστικά με κατάλληλους αλγόριθμους φυσικών αριθμών.

Τέλος θα ήθελα να προσθέσω ότι και η βάση του Νεπερείου λογαρίθμου
e = 2,718... περιέχεται στις σταθερές που υπολογίζονται από τις διαστάσεις της Πυραμίδας του Χέοπος. Και αυτό θα το δείξω κάποια άλλη φορά.

Φιλικά

Κηφεύς

Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.

quote:

---

Τέλος θα ήθελα να προσθέσω ότι και η βάση του Νεπερείου λογαρίθμου
e = 2,718... περιέχεται στις σταθερές που υπολογίζονται από τις διαστάσεις της Πυραμίδας του Χέοπος. Και αυτό θα το δείξω κάποια άλλη φορά.

---

Αυτό δεν το γνώριζα ή αν το είχα διαβάσει δεν το συγκράτησα επειδή δεν γνώριζα το Νεπέρειο λογάριθμο.

Σχετικά με την δυσκολία να αποτυπωθούν εξισώσεις στα Forums, αυτό έχει άμεση σχέση με την εφαρμογή που χρησιμοποιείται.
Όταν γίνει η μετάβαση στη νέα βάση δεδομένων, ενδεχομένως να μην υπάρχει αυτή η τεχνική δυσκολία.

Κάτι άλλο όμως που μπορεί να γίνει είναι να γράψεις πάλι τις εξισώσεις με σύμβολα όπως έκανες για το δυαδικό σύστημα αρίθμησης κλπ.
Μπορείς επίσης να ανεβάσεις τις εξισώσεις και το σχέδιο της Πυραμίδας του Χέοπα στο θέμα με τη μορφή φωτογραφιών.

Αν θέλεις κάποιες επεξηγήσεις για τον τελευταίο τρόπο, θα χαρώ να σε βοηθήσω.

In anticipation of my resurrection...

quote:

---

Κάτι άλλο όμως που μπορεί να γίνει είναι να γράψεις πάλι τις εξισώσεις με σύμβολα όπως έκανες για το δυαδικό σύστημα αρίθμησης κλπ.
Μπορείς επίσης να ανεβάσεις τις εξισώσεις και το σχέδιο της Πυραμίδας του Χέοπα στο θέμα με τη μορφή φωτογραφιών.

Αν θέλεις κάποιες επεξηγήσεις για τον τελευταίο τρόπο, θα χαρώ να σε βοηθήσω.

---

Κηφεύς

Παρά τις μυστικιστικές μαθηματικές καταβολές του Φ = 1,618, το πραγματικά ασύλληπτο χαρακτηριστικό του ήταν ο ρόλος του ως θεμελιώδους δομικού στοιχείου στη φύση.

Τα πάντα (φυτά, ζώα, ακόμα και οι άνθρωποι) διέπονταν από αναλογίες που συνέτειναν με τρομακτική ακρίβεια προς την αναλογία Φ προς 1.

Η παρουσία του Φ παντού στη φύση, σαφώς ξεπερνά τα όρια της σύμπτωσης, γι’αυτό οι αρχαίοι υπέθεσαν ότι ο αριθμός Φ πρέπει να έλκει την καταγωγή του από το δημιουργό του σύμπαντος.

Οι πρώτοι επιστήμονες αποθέωσαν το 1,618, θεωρώντας το, το θεμέλιο της Θείας Αναλογίας.

Ας αρχίσουμε την παράθεση παραδειγμάτων που επιβεβαιώνουν τα παραπάνω:

Σε μια οποιαδήποτε κυψέλη μελισσών στον κόσμο, αν διαιρέσουμε των αριθμό των θηλυκών μελισσών με τον αριθμό των αρσενικών μελισσών, καταλήγουμε πάντα στον ίδιο αριθμό: τον Φ = 1,618.

Ο "ναυτίλος" είναι κάποιο σπειροειδές όστρακο. Ένα κεφαλόποδο μαλάκιο το οποίο διοχετεύει αέριο σε θαλάμους που υπάρχουν μέσα στο κέλυφός του προκειμένου να ρυθμίζει την πλεύση του. Η αναλογία της διαμέτρου κάθε σπείρας προς την επόμενη είναι Φ = 1,618.

Οι σπόροι των ηλιοτροπίων σχηματίζουν αντίρροπες σπείρες. Η αναλογία της διαμέτρου της καθεμιάς προς την επόμενη είναι περίπου 1,618. Δηλαδή το ηλιοτρόπιο έχει 21 σπείρες στην κορφή του που στρέφονται προς τη μία κατεύθυνση, και 34 που στρέφονται προς την άλλη – διαδοχικοί αριθμοί της Ακολουθίας Φιμπονάτσι: 34/21 = 1,619047…

Κουκουνάρια πεύκων, φύλα πάνω σε μίσχους φυτών, έντομα,
όλα ανεξαιρέτως υπακούουν στους νόμους της Θείας Αναλογίας.

Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι είχε σχεδιάσει την περίφημη σπουδή του πάνω στο ανθρώπινο σώμα, τον Βιτρούβιο Άντρα. Ονόμασε το συγκεκριμένο σχέδιο έτσι προς τιμήν του Μάρκου Βιτρούβιου, του ιδιοφυούς Ρωμαίου αρχιτέκτονα, ο οποίος είχε αναφερθεί με ενθουσιασμό στη Θεία Αναλογία στο έργο του "Περί Αρχιτεκτονικής".
Κανείς δεν κατανοούσε καλύτερα από τον Ντα Βίντσι τη Θεία Αναλογία του ανθρώπινου σώματος. Ο μέγας καλλιτέχνης έφτασε στο σημείο να εκταφιάσει πτώματα προκειμένου να μελετήσει τις ακριβείς αναλογίες της ανθρώπινης σκελετικής δομής. Ήταν ο πρώτος που απέδειξε ότιτο ανθρώπινο σώμα πραγματικά αποτελείται από δομικά μέρη η αναλογία των οποίων είναι πάντοτε ίση με το Φ = 1,618.

Όταν οι αρχαίοι ανακάλυψαν το Φ, ήταν βέβαιοι ότι είχαν εντοπίσει το θεμέλιο λίθο του σύμπαντος, τη δομική αρχή του Θεού, και γι’αυτό λάτρευαν τη φύση. Είναι εύκολο να καταλάβει κανείς το γιατί.

Η Θεία Αναλογία της Χρυσής Τομής παρουσιάζει και τις εξής ιδιότητες:

Διαιρούμενος με το δεκαδικό του μέρος, πολλαπλασιάζοντας με τον εαυτό του (δηλ. υψούμενος στο τετράγωνο) ή προσθέτοντας τη μονάδα δίνει πάντα αποτέλεσμα 2,618. Δηλαδή:

1,618 : 0,618 = 2,618

1,618 x 1,618 = 2,618

1,618 + 1 = 2,618

Με βάση τον αριθμό αυτό οι Πυθαγόρειοι διετύπωσαν τον οικουμενικό νόμο των αναλογιών στα σχήματα των όντων της Φύσης, του ανθρώπου και αυτών ακόμη των αρχιτεκτονικών κτισμάτων (Ναών).

Ο κρυφός ρόλος του Φ εμφανίζεται στον Παρθενώνα, στην μεγάλη Πυραμίδα του Χέοπος της Αιγύπτου, ακόμα και στο κτίριο του ΟΗΕ στη Νέα Υόρκη.

Τα έργα τέχνης του Μιχαήλ Άγγελου, του Άλπρεχτ Ντίρερ,
του Ντα Βίντσι και πολλών άλλων, καταστούν φανερή τη σκόπιμη και επίμονη εναρμόνιση του κάθε καλλιτέχνη προς τις επιταγές της Θείας Αναλογίας στις συνθέσεις τους.

Εάν τον αριθμό 2,618 πολλαπλασιάσουμε με το 12/10 ή το 6/5
που είναι το διάστημα της τρίτης στη μουσική, δηλαδή το διάστημα ανάμεσα στη μείζονα και στην ελάσσονα κλίμακα, έχομε:
2,618 x (12/10) = 2,618 x (6/5) = 3,14… = π, που είναι η γνωστή παγκόσμια σταθερά.

Το χρυσό νούμερο 1,618 έκανε συστηματικά την εμφάνισή του στις σονάτες του Μότσαρντ, στην Πέμπτη Συμφωνία του Μπετόβεν, καθώς και σε έργα των Μπάρτοκ και Σούμπερτ.

Ο αριθμός Φ είχε χρησιμοποιηθεί ακόμα και από τον Στραντιβάριους προκειμένου να υπολογίσει με ακρίβεια τα σημεία στα οποία έπρεπε να τοποθετήσει τις σχισμές στο ηχείο των περίφημων βιολιών που κατασκεύαζε.

Στο ανθρώπινο σώμα, οι κοιλίες της ανθρώπινης καρδιάς
συντονίζονται στο σημείο της Θείας Αναλογίας του ρυθμικού κύκλου της καρδιάς.

Φιλικά

Κηφεύς

Γνωρίζω πως μπορεί να βρεθεί σε πολλούς εκπροσώπους του ζωϊκού και φυτικού βασιλείου και σε κάποιες εκδηλώσεις τους και μου είχε κινήσει έντονα την περιέργεια.
Για αυτό το λόγο είχα μάθει και την ακολουθία Φιμπονάτσι.

Σχετικά με το πως θα μπορέσεις να ανεβάσεις φωτογραφίες σε ένα θέμα:

Πρώτα απ' όλα, θα πρέπει να έχεις κάποιο url της εικόνας, είτε αυτή προέρχεται από κάποιο site στο Διαδίκτυο είτε προέρχεται από τον υπολογιστή σου.
Αυτό μπορείς να το κάνεις σε κάποιο site το οποίο φιλοξενεί εικόνες και σου δίνει ένα url για να το χρησιμοποιήσεις.

Ένα από αυτά είναι το:

www.imageshack.us

Είναι προτιμότερο κι ασφαλέστερο να ανεβάζεις εκεί την φωτογραφία που επιθυμείς να βάλεις σε κάποιο θέμα μας, ακόμη κι αν έχεις ήδη το url από κάποιο site.
Την ανεβάζεις στο site που σου πρότεινα επιλέγοντας και το μέγεθος που επιθυμείς να έχει η εικόνα.
Το μέγεθος 800 x 600 είναι μια χαρά.

Στην συνέχεια, κρατάς το "direct link to image".

Στην φόρμα απάντησης στο θέμα που επιθυμείς να ανεβάσεις την εικόνα, πατάς το εικονίδιο .

Θα σου εμφανιστεί ο κώδικας [img][/img]

Ανάμεσα σ' αυτό θα περικλείσεις το link της φωτογραφίας.
Παράδειγμα:

[img]direct link to image[/img]

Κι είσαι έτοιμος!

Εάν χρειάζεσαι περαιτέρω διευκρινήσεις, μπορείς να διαβάσεις το θέμα (κλίκαρε στον παρακάτω τίτλο για να μπεις κατευθείαν):

Test "Area51" -- Δοκιμές για υπογραφές, εικόνες κ.λπ.

ή μπορείς να μου στείλεις κάποιο e-mail ώστε να σε βοηθήσω.

In anticipation of my resurrection...

Σ'ευχαριστώ για την βοήθεια. Ακολούθησα τις οδηγίες σου και σχετικά εύκολα μου έδωσαν password από την imageshack. Ακολούθησαν δύο αποτυχημένες προσπάθειές μου. Δεν επέμεινα πολύ. Είναι θέμα χρόνου να τα καταφέρω. Προς το παρόν θα τα αποτυπώσω με την απλή μέθοδο. Εξ άλλου, σκέφθηκα να μην μπλέξω με περίπλοκες εξισώσεις τους φίλους αναγνώστες. Όσον αφορά τα σχήματα, τα κάνω περιγραφικά, με τέτοιο τρόπο ώστε όποιος θέλει μπορεί να τα αποτυπώσει, εύκολα, στο χαρτί.

Ας δώσουμε, τώρα τον ορισμό του π = 3,14...

Ο π = 3,14... είναι ένας αριθμός υπερβατικός, πραγματικός μη περιοδικός ασύμμετρος αριθμός (δηλ. μη αλγεβρικός αριθμός με άπειρα μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία ή ομάδες ψηφίων και δεν αποτελεί ρίζα αλγεβρικής εξισώσεως).

Ενδεικτικά δίδω (δια το ενδιαφέρον του πράγματος), τον αριθμό π, αμέσως παρακάτω, με 40 δεκαδικά ψηφία:

π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971.

1) Όπως είναι γνωστό, ο κλασσικός ορισμός του π, δόθηκε από τον Αρχιμήδη στο έργο του "Κύκλου μέτρησις", ως του λόγου της περιφερείας κύκλου προς την διάμετρό του, όπου προσδιορίζεται η τιμή του π ,
Αναλυτικότερα, συνίσταται στον υπολογισμό του μήκους της περιφερείας κύκλου διαμέτρου ίσηε με τη μονάδα 1, ο οποίος θεωρείται σαν κοινό όριο των περιμέτρων κανονικών πολυγώνων εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων στον κύκλο αυτό και των οποίων το πλήθος των πλευρών διπλασιάζεται επ’άπειρον.

Το αποτέλεσμα που υπολογίσθηκε από αυτόν, ήταν με προσέγγιση μέχρι και του δευτέρου δεκαδικού (3,14).

2) Τον 17ο αιώνα, δόθηκε ο π με το άθροισμα της ημισυγκλινούσης
σειράς:

π/4 = 1 – (1/2) + (1/3) – (1/4) + (1/5) –…

3) Ακολούθησε ο προσδιορισμόςτου π με πλήθος άλλων αλγορίθμων φυσικών αριθμών.

4) Μία μέθοδος που αποδίδεται στον Jacques Gregory, συνίσταται στον υπολογισμό της επιφανείας του ιδίου κύκλου, που θεωρείται και αυτή σαν κοινό όριο των εμβαδών των ιδίων όπως και προηγουμένως πολυγώνων που μεταβάλλονται με τον ίδιο τρόπο.

5) Επίσης μίαάλλη μέθοδος που καλείται και μέθοδος των ισοπεριμετρικών πολυγώνων και αποδίδεται στον Schwab, αλλά στην πραγματικότητα οφείλεται στον Descartes, ζητεί την εύρεση της ακτίνας περιφερείας δοθέντος μήκους, η οποία θεωρείται σαν κοινό όριο των ακτίνων και αποστημάτων μιας ακολουθίας κανονικών πολυγώνων, ορισμένης περιμέτρου και των οποίων το πλήθος των πλευρών συνεχώς διπλασιάζεται.

6) Τέλος υπάρχει και η μέθοδος, του Legendre, συνίσταται στην ανεύρεση της ακτίνας κύκλου δοθέντος εμβαδού, η οποία θεωρείται πάλι σαν κοινό όριο των ακτίνων και αποστημάτων μιας ακολουθίας κανονικών πολυγώνων, ορισμένου εμβαδού και των οποίων το πλήθος των πλευρών συνεχώς διπλασιάζεται.

Τιμές του π:

Ο Αρχιμήδης, όπως είπαμε, έδωσε σαν προσεγγιστική τιμή του π τον αριθμό 22/7, ο Αδριανός Métius τον λόγο 355/113, οι σύγχρονοι δε ηλεκτρονικοί υπολογιστές εκτόξευσαν την προσέγγιση, με την επεξεργασία σειρών σε τέτοιο βαθμό ώστε να μην απαιτείται πρακτικώς μεγαλύτερη πλέον ακρίβεια.

Παρατίθεται ο αριθμός των ακριβών δεκαδικών ψηφίων του αριθμού π που κατά καιρούς πέτυχαν οι διάφοροι ερευνητές.

Αρχιμήδης……………………………………………………2
Οι Ινδοί αστρονόμοι………………………………………..3
François Viète (1579)………………………………………7
Métius (1626)………………………………………………..8
Adrien Romanus……………………………………………16
Ludolf van Ceulen………………………………………….35
Sharps………………………………………………………...73
Lagny (1719)……………………………………………….127
Vega…………………………………………………………140
Dahse (1840,Βιέννη)……………………………………….200
Richter (1853)………………………………………………333
Rutherford (1855)………………………………………….440
Shangks (1855)……………………………………………..530

Και για τον π παρουσιάζεται το παράδοξο υπολογισμού του που έχω προαναφέρει και για την Χρυσή τομή.

Φιλικά

Κηφεύς

Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.

Σ'αυτό το μήνυμα θα αναφερθώ στην αποτύπωση των τριών σταθερών π, e και Φ, από τους αρχαίους Αιγυπτίους στην Πυραμίδα του Χέοπος:

Έστω τετραγωνική ισοσκελής πυραμίδα με:

Κορυφή : Κ,
Τετραγωνική βάση : (ΑΒΓΔ), με πλευρές : (ΑΒ), (ΒΓ), (ΓΔ), (ΔΑ).
Ύψος ισοσκελούς τριγωνικής πλευράς (ΑΚΔ) : (ΚΕ).
Κέντρο τετραγωνικής βάσης [τομή διαγωνίων (ΑΓ) και (ΒΔ)]: Ο.

Στην Πυραμίδα του Χέοπος έχομε τις εξής διαστάσεις:

Πλευρά τετραγωνικής βάσεως: (ΑΒ) = 230,364 μ.,

Γωνίες κλίσεως :
Ê = (KÊΟ) = 51 μοίρες και 50πρώταλεπτά = 51,8333… μοίρες
Κ = (ΕΚΟ) = 38 μοίρες και 10 πρώτα λεπτά = 38,1666… μοίρες

Ύψος Πυραμίδος: (ΟΚ) = 146,546 μ. ,

Η μισή διαγώνιος της τετραγωνικής βάσης: (ΑΟ) = 162,89 μ.

Μήκος πλευράς ισοσκελούς κεκλιμένης τριγωνικής έδρας:(ΚΑ)= 219,112μ.

π = [2x(ΑΒ)]/(ΟΚ) = 460,728/146,546 = 3,14…

Φ =[(ΕΟ)+(ΕΚ)]/(ΕΚ) = (ΕΚ)/(ΕΟ) = 1/συν Ε = 1,618…

e =(2xΕ)/Κ = [2x(ΚΕΟ)]/(ΕΚΟ)= 103,666…/38,1666…= 2,71…

Είναι, πάντως, εκπληκτικό το ότι είχαν αυτές τις γνώσεις οι αρχαίοι Αιγύπτιοι, τις οποίες και αποτύπωσαν στην Πυαραμίδα του Χέοπος.

Φιλικά

Κηφεύς

Πράγματι, είναι εντυπωσιακό που κι οι 3 αριθμοί (e, π & φ) εμφανίζονται στην Πυραμίδα του Χέοπα.
Επειδή είχες αναφέρει τον Παρθενώνα, συμβαίνει κάτι ανάλογο;
Απ' όσο γνωρίζω για τον Παρθενώνα, εάν επεκτείνουμε νοητά τις κολώνες του σχηματίζεται κάποια νοητή πυραμίδα, σωστά;

Θα ήθελα επίσης μια διευκρίνηση για κάτι που έγραψες:

quote:

---

Ύψος ισοσκελούς τριγωνικής πλευράς (ΑΚΔ) : (ΚΕ).

---

Το Ε τι συμβολίζει;

In anticipation of my resurrection...

Ας ξεκινήσουμε πρώτα από τον Παρθενώνα:
Είναι πιο απλό απ'αυτό που διατύπωσες.
Αν διαιρέσουμε το μήκος του Παρθενώνα δια του πλάτους του, ο λόγος αυτός είναι Φ = 1,618.
Δηλαδή: Μήκος του Παρθενώνα / Πλάτος του Παρθενώνα = 1,618.
Που σημαίνει ότι οι αρχαίοι Έλληνες, γνώριζαν την Χρυσή τομή (πιθανώτατα από τους αρχαίους Αιγυπτίους), και έκτισαν τον Παρθενώνα με διαστάσεις ανάλογες της Χρυσής τομής, αφού αυτές είναι οι πιο αισθητικά αντιλαμβανόμενες από το ανθρώπινο μάτι.

Όσον αφορά το δεύτερο: Το σύμβολο Ε συμβολίζει την γωνία:

Ê = (KÊΟ) = 51 μοίρες και 50 πρώτα λεπτά = 51,8333… μοίρες
που έχει πλευρές ΕΚ και ΕΟ, κορυφή δε το Ε.
όπου:
Ε είναι το μέσον της πλευράς ΑΔ της τετραγωνικής βάσης (ΑΒΓΔ).
Κ είναι η κορυφή της πυραμίδος.
Ο είναι η τομή των διαγωνίων ΑΓ και ΒΔ της τετραγωνικής βάσης (ΑΒΓΔ).

και Κ συμβολίζει την γωνία:
Κ = (ΕΚΟ) = 38 μοίρες και 10 πρώτα λεπτά = 38,1666… μοίρες, είναι δε η συμπληρωματική γωνία της Ê = (KÊΟ), και έχει πλευρές (ΚΕ) και (ΚΟ), κορυφή δε το Κ :
Δηλαδή Κ = 90 μοίρες - 51,8333...μοίρες = 38,16666...μοίρες, αφού το τρίγωνο (ΕΟΚ) είναι ορθογώνιο.

Άρα έχομε:

e =(2xΕ)/Κ = [2x(ΚΕΟ)]/(ΕΚΟ)= (2 x 51,8333...)/38,1666...= 103,666…/38,1666…= 2,71…

(Να, γιατί είναι καλό να υπάρχει το σχέδιο...).

ΥΓ.: Επανέρχομαι στον Παρθενώνα:

quote:

---

Απ' όσο γνωρίζω για τον Παρθενώνα, εάν επεκτείνουμε νοητά τις κολώνες του σχηματίζεται κάποια νοητή πυραμίδα, σωστά;

---

Ου τα πάντα τοις πάσι ρητά.

Μετά την αναφορά μας στις τρείς παγκόσμιες σταθερές Φ, π και e, ας εξετάσομε την πορεία των Μαθηματικών κατά την Αλεξανδρινή περίοδο.

Οι κυριώτεροι εκπρόσωποι αυτής της περιόδου υπήρξαν ο Ευκλείδης, ο Αρχιμήδης, ο Ερατοσθένης, ο Πάππος, ο Απολλώνιος, ο Διόφαντος και άλλοι.

Ο Ευκλείδης (330 - 270 π.Χ) σπούδασε στην Αθήνα:

νεώτερος μεν ουν έστι των περί Πλάτωνα, πρεσβύτερος δε Ερατοσθένους και Αρχιμήδους. Ούτοι γαρ σύγχρονοι αλλήλοις, ως πού φησίν Ερατοσθένης. Και τη προαιρέσει δε Πλατωνικός έστι και τη φιλοσοφία ταύτη οικείος, όθεν δη και της συμπάσης στοιχειώσεως τέλος προεστήσατο την των καλουμένων Πλατωνικών σχημάτων σύστασιν ( Πρόκλος Β 39)... ό τα στοιχεία συναγαγών και πολλά μεν των Ευδόξου συντάξας, πολλά δε των Θεαιτήτου τελειωσάμενος, έτι δε τα μαλακώτερον δεικνύμενα τοις έμπροσθεν εις ανελέγκτους αποδείξεις αναγαγών: Γέγονε δε ούτος ο ανήρ επί του πρώτου Πτολεμαίου. Και γαρ ο Αρχιμήδης επιβαλών και τω πρώτω μνημονεύει του Ευκλείδου". [Πρόκλος Β 39, (σ. 7-13)]

Από αυτά τα στοιχεία, αντιλαμβανόμαστε την μεγάλη μαθηματική Εργασία της Σχολής του Πλάτωνα.

Ο μέγας Μαθηματικός και Μηχανικός Αρχιμήδης (287 - 212 π.Χ), γεννήθηκε στις Συρακούσες νεώτερος του Ευκλείδη:

"λέγεται κατσκευάσας των πολεμούντων την Συρακούσαν αμυντικά όργανα, και ή θαυματοποιϊκή τα μεν δια πνων φιλοτεχνούσα...τα δε δια ροπών....τα δε δια νεύρων και σπάρτων..." (Πρόκλος Β 24)

"Ο Αρχιμήδης δε του κύκλου την περιφέρειαν εις ευθείαν εκτεινομένην της διαμέτρου τριπλασίαν άι έτι των εβδόμω μέρει μάλιστα αυτής μείζονα. Ώστ'είη αν η πάσα της γης διάμετρος μυριάδων η΄και ρπβ΄ σταδίων έγγιστα..."τον δε επί του κύκλου κύλινδρον αποδείκνυσιν Αρχιμήδης ημιόλιον της εν αυτώ σφαίρας..." (Θέων Σμυρναίος)

Οι μηχανικές και αστρονομικές μετρήσεις ανάγκασαν τον Αρχιμήδη να ασχοληθεί πολύ με τον αριθμητικό λογισμό.
Αυτό φαίνεται στο έργο του "Ψαμμίτης", όπου αναφέρεται σε δικό του σύστημα αρίθμησης για μεγάλους αριθμούς όπως και θαυμάσιοι υπολογισμοί, ιδίως αυτοί που αναφέρονται στην εξαγωγή ρίζας.

Ο Ερατοσθένης (276 - 195 π.Χ.) υπήρξε νεώτερος του Αρχιμήδη.
Αν και φιλόλογος, όπως ο ίδιος διατείνεται, και γεωγράφος, που φαίνεται από τη συμβολή του σ'αυτή την επιστήμη, και ιστορικός μαθηματικός, όπως ο Πρόκλος αναφέρει, συνέβαλε αρκετά και στην ανάπτυξη των Μαθηματικών.
Ασχολήθηκε με τις αναλογίες και έγραψε δύο βιβλία γι'αυτές, όπως ο Πάππος μαρτυρεί.
Ο Νικόμαχος ο Γερασηνός στην "Αριθμητική Εισαγωγή" του αναφέρει μέθοδο χωρισμού των πρώτων αριθμών, την οποία καλεί "κόσκινον του Ερατοσθένους".
Στον Ερατοσθένη αποδίδεται ότι δοθέντων τριών όρων προσδιορίζεται η αναλογία.

Ο Απολλώνιος ο Περγαίος (260 - 200 π.Χ.) μέγας γεωμέτρης και μαθηματικός. Σπουδαία υπήρξε η συμβολή του στα Μαθηματικά. Το έργο του περί "ατάκτων αλόγων" είναι βιβλίο περί ασυμμέτρων αριθμών, επέκταση του έργου του Θεαίτητου και Ευκλείδη. Το "Ωκυτόκιον" αποτελεί βιβλίο λογιστικής με νέες και σύντομες μεθόδους πράξεων.

Ο Πάππος ο Αλεξανδρεύς Έλληνας γεωμέτρης και μαθηματικός, έζησε στην Αλεξάνδρεια περί το 300 π.Χ. Έγραψε σχόλια στα "Στοιχεία" του Ευκλείδη, την "Σύνταξιν" του Πτολεμαίου και το έργο "Συναγωγή".

Το έργο του Διόφαντου "Αριθμητικά", αν και βιβλίο μεθοδικό, εν τούτοις δίνει πολλές από τις Μαθηματικές γνώσεις των Αρχαίων Ελλήνων από τους Πυθαγόρειους μέχρι της εποχής του.

Εκτός από τα προαναφερθέντα έργα φαίνεται ότι και πολλά άλλα έργα Μαθηματικών έχουν γραφεί.

Ο Διογένης Λαέρτιος μαρτυρεί ότι ο Ξενοκράτης ο Αγαθήνορος, χαλκηδόνιος, έγραψε βιβλία Λογιστικής και Θεωρίας Αριθμών.

Ο Πρόκλος αναφέρει, ότι τα Μαθηματικά ήταν μάθημα απαραίτητο ώστε πολλοί συγγραφείς να ασχοληθούν με τις μεθόδους εύκολης διάδοσής τους.

Φιλικά

Κηφεύς

Μετά τα προηγούμενα μηνύματα (ιστορική προέλευση των Μαθηματικών, στοιχεία θεωρίας Αριθμών, έρευνα προέλευσης και υπολογισμού των παγκόσμιων σταθερών π, Φ, e ...κ.τ.λ.), νομίζω ότι δημιουργήθηκε το κατάλληλο πλαίσιο, για να απαντηθεί το αρχικό ερώτημα:

Τι είναι τα Μαθηματικά - Εφεύρεση ή ανακάλυψη;

Θεωρώ, φίλοι μου, ότι δεν είναι ούτε εφεύρεση ούτε ανακάλυψη.

Στα επόμενα μηνύματά μου θα προσπαθήσω να δείξω ότι τα Μαθηματικά είναι (κατά τη γνώμη μου) κάτι βαθύτερο:

Ο Άνθρωπος στις κληρονομικές καταβολές του, δεν κουβαλάει ούτε ένστικτα συμπλέγματα ούτε έμφυτες ιδέες.

Για να λειτουργήσει η μηχανή του εγκεφάλου του χρειάζεται από το εξωτερικό περιβάλλον διάφορα στοιχεία των οποίων συλλέκτες είναι τα αισθητήρια όργανα.

Οι αισθητηριακής προέλευσης πληροφορίες, που επεξεργάζεται ο νους μας, προκαλούν την εκκόλαψη ιδεών οι οποίες χάνουν λίγο–πολύ τους δεσμούς τους με κάποιον υλικό φορέα ή πρόξενο.
Καμιά φορά οι δεσμοί αυτοί γίνονται τόσο λεπτοί, ώστε είναι αδιόρατοι για το μη εξασκημένο μάτι.

Κάτι τέτοιο συμβαίνει με τα μαθηματικά, κυρίως με τα μαθηματικά εκείνα που πραγματεύονται τους αριθμούς .

Αυτός ο κλάδος της γνώσης μας, ο πιο νοησιαρχικός απ’όλους, επικαλείται, στην έρευνά του, ένα μίνιμουμ αισθητηριακών δεδομένων και διατυπώνει συλλογισμούς πάνω στις ιδιότητες των σωμάτων μη παίρνοντας – ή παίρνοντας ελάχιστα – υπόψη του την "υλικότητά" τους.

Έτσι, οι ιδιότητες του τριγώνου δεν εξαρτώνται από συγκεκριμένη ουσία, βρίσκονται στο σχήμα που παίρνει μια επιφάνεια, οποιοδήποτε και να είναι το υλικό της.

Στη σκέψη του μαθηματικού, το τρίγωνο γίνεται νοητική κατηγορία, η τριγωνικότητα, που χάνει τις υποστασιακές σχέσεις της με την ύλη.

Η αφαίρεση συνίσταται ακριβώς στο να ξεχωρίσουμε τις φυσικές, μηχανικές, γεωμετρικές ή αριθμητικές ιδιότητες από τον υλικό τους φορέα.

Δεν ασχολείται με τις ειδικές περιπτώσεις.

Σκοπεύει στο γενικό.

Το υλικό τρίγωνο, όσο λεπτό και να είναι, έχει κάποιο πάχος. Το επίπεδό του δεν είναι τέλειο και οι πλευρές του μόνο κατά προσέγγιση είναι ευθείες. Ωθώντας τις αξιώσεις, δηλαδή την αυστηρότητα της λογικής στα έσχατα όριά της, θα καταλήγαμε να πούμε ότι μιας και το τρίγωνο δεν μπορεί να υπάρξει σε υλική κατάσταση, δεν υπάρχει παρά μόνο με τη μορφή ιδέας, διανοητικής κατηγορίας.
Και τότε τίθεται το ζήτημα να δούμε μήπως από μιας εξαρχής είναι καθαρά ανθρώπινο κατασκεύασμα.

Τα μαθηματικά, επικαλούμενα μόνο το μυαλό που δουλεύει επαγωγικά, απαγωγικά, ακόμα και διαισθητικά, δημιουργούν τα δικά τους αντικείμενα που είναι πιο πραγματικά στον κόσμο των ιδεών απ’ότι στον υλικό κόσμο.

Εκφραζόμενα με αριθμούς και σύμβολα, τα μαθηματικά ωθούν την αφαίρεση στα ακρότατα όριά της.
Ποσοποιούν και τις υλικές και τις εξιδανικευμένες (δηλαδή τις αφηρημένες, τις εξαϋλωμένες) ιδιότητες της ύλης, υπό όλες της τις καταστάσεις, υπό όλες της τις μορφές.

Οι νόμοι της φυσικής μεταγράφουν στη γλώσσα των μαθηματικών την αιτιότητα που συνδέει τους παράγοντες εκείνους οι οποίοι υπεισέρχονται σε κάποιο φαινόμενο, ενώ το θεώρημα είναι μεταγραφή στη γλώσσα των μαθηματικών κάποιας αφαίρεσης ή κάποιας ουσίας, μπορεί ακόμα και κάποιου αξιώματος.

Φιλικά

Κηφεύς

Τα μαθηματικά αποκαλύπτουν τις αρχές που συναρτούν την ύπαρξη του Σύμπαντος.

Μπορούμε να προχωρήσουμε περισσότερο και να ισχυριστούμε ότι αποτελούν τα ιδεατά θεμέλια και το σκελετό που πάνω τους στηρίζεται και οργανώνεται το Σύμπαν.

Δεν μπορεί να αμφισβητηθεί στα σοβαρά, ότι αρχικώς τα μαθηματικά ασχολήθηκαν με συγκεκριμένα αντικείμενα. Οι στοιχειώδεις έννοιες των αριθμών και οι πρώτες βάσεις της γεωμετρίας ξεκίνησαν από την παρατήρηση συνηθισμένων αντικειμένων.

Μόλις τεθεί το αξίωμα – πάντα με βάση τα δεδομένα των αισθήσεων – από κει και πέρα, φτάνει αυτό, για τον εγκέφαλο, για να συναγάγει ή να συμπεράνει απειρία συνεπειών: θεωρήματα, πορίσματα, λήμματα … κι’όλα αυτά βάζοντας σε ενέργεια την λογική.

Κι’όχι μόνο αυτό. Η φαντασία παίρνοντας τον αντίποδα όλων αυτών των δεδομένων συλλαμβάνει αξιώματα που διαφωνούν με τις αισθήσεις μας, με τις εντυπώσεις μας. Τέτοια ακριβώς είναι η περίπτωση των μη ευκλείδειων γεωμετριών.

Είναι διάβημα καθαρά ιδεατό και ενάντια στην αισθητηριακή εμπειρία μας, να δεχθούμε ότι από ένα σημείο μπορούν να περάσουν πολλές ευθείες παράλληλες προς άλλη. Είναι, θα λέγαμε, σαν να ερχόμαστε να βγάλουμε ψεύτικα τα δεδομένα των αισθήσεών μας. Ωστόσο, χάρη στη συγκεκριμένη εικόνα του σημείου και των δύο ευθειών, η φαντασία δημιουργεί το αξίωμα που διαψεύδει τα αισθητηριακά δεδομένα και λέει:

"Ας ενεργήσουμε σαν να ήταν αλήθεια αυτό το πράγμα και βλέπουμε μετά τι θα γίνει".

Η επινόηση πάντως δεν παύει να έχει κάποια υλική βάση.

Είμαστε συνηθισμένοι με τέτοια διαβήματα του νου, απ’όπου πηγάζουν το φανταστικό και ο υπερρεαλισμός.

Αν η συνεισφορά των αισθήσεων είναι σχεδόν προφανής στα θέματα της γεωμετρίας, της επιστήμης των σχημάτων, στην αριθμητική είναι πιο συγκεκαλυμμένη, σε σημείο που να την ξεχνάει κανείς.

Φιλικά

Κηφεύς

Ο αριθμός είναι συνυφασμένος με τα υλικά αντικείμενα.

Δεν υπάρχει τίποτα πιο αποκαλυπτικό γι’αυτό που λέμε, από το να βλέπουμε έναν ανεξέλικτο άνθρωπο, έναν Πυγμαίο λόγου χάρη, την ώρα που μετράει. Δεν ξεχωρίζει ποτέ του τον αριθμό από τα υλικά αντικείμενα: τα δάκτυλα, τους σπόρους … Το αριθμητήριο του σχολείου συνδέει τον αριθμό με το αντικείμενο, αλλά η αφηρημένη έννοια, κι’εδώ ακόμα, δεν έχει απομονωθεί τελείως.

Στην αριθμητική, ο αριθμός, μέσα από μια γενικευμένη, θα λέγαμε, αφαίρεση, γίνεται αντικείμενο καθαυτό, πάνω στο οποίο ο νούς ασκείται ελεύθερα αναζητώντας τις ιδιότητες αυτού του αριθμού: έτσι το μυαλό μας δεν καταφεύγει πια στις αισθήσεις και κινείται σ’έναν κόσμο όπου οι αριθμοί, τα αλγεβρικά σύμβολα, είναι όντα τόσο πραγματικά όσο και τα υλικά αντικείμενα.

Η ψυχολογία των μαθηματικών, αν ακολουθούμε μια γραμμή αντικειμενικής σπουδής, χωρίς να είμαστε θεωρητικά προϊδεασμένοι θα έπρεπε να μας προσφέρει ανεκτίμητα ντοκουμέντα, για την επεξεργασία στην οποία υποβάλλει την πληροφορία ο εγκέφαλος και για την υφή των νοητικών κατηγοριών ή των "αφηρημένων αντικειμένων" τα οποία αποτελούν οι αριθμοί.

Επιπλέον, τα μαθηματικά συνδέονται τόσο έντονα με την δοκιμή του "σκεπτόμενου νου", ώστε είναι σε θέση να μας αποκαλύπτουν τους θεμελιώδεις κανόνες του.

Απαλλαγμένος από καθετί επουσιώδες, ο μαθηματικός τρόπος σκέψης προδηλώνει τις θεμελιώδεις λογικές των ενεργειών του μυαλού μας.

Βλέπομε τη λογική σαν το πλαίσιο εκείνο μέσα στο οποίο επιτελείται υποχρεωτικά η εργασία του εγκεφάλου.

Δεν έχουμε την δυνατότητα να ερμηνεύσουμε τα αισθητηριακά δεδομένα σύμφωνα με κανόνες που δεν τους δέχεται η λογική μας.

Ξεκινώντας από ισχνότατα αισθητηριακά δεδομένα ή από αριθμούς (κανένα από αυτά τα στοιχεία δεν είναι έμφυτη ιδέα), κι’εφαρμόζοντας τη λογική, ο Άνθρωπος φτιάχνει μαθηματικά τόσο απομακρυσμένα από τη συγκεκριμένη πραγματικότητα, ώστε να μην φαίνονται πως θα έβρισκαν εφαρμογή σε κάποιο υλικό αντικείμενο. Κι’όμως σε μερικές περιπτώσεις αυτά τα μαθηματικά χρησιμοποιήθηκαν από τους φυσικούς επειδή τα άλλα μαθηματικά δεν προσφέρονταν για το αντικείμενο των ερευνών τους.

Τίθεται τώρα το ζήτημα, να δούμε αν ο νους κατευθυνόμενος από τη λογική, και ενεργώντας πάνω σε αξιωματικά δεδομένα, διαθέτει τη δύναμη να ανακαλύψει τους μαθηματικούς νόμους του υλικού Σύμπαντος χωρίς τη συνδρομή μιας πληροφορίας αντικειμενικής (παίρνουμε αυτό το επίθετο στην κυριολεξία του).

Χωρίς να είναι κανείς φυσικός, μπορεί να απαντήσει όχι, γιατί η θεωρητική φυσική οδηγεί τις αναζητήσεις της σε δεδομένα, σε νόμους που έχουν προέλθει από την εμπειρία, και πραγματεύεται τα θέματα αυτά με μεθόδους καθαρά μαθηματικές.

Δεν υπάρχει τίποτα μέσα στο Μακρόκοσμο που να μη βρίσκεται υπό την επήρεια των αριθμών, που να μην εμφορείται, θα λέγαμε, από τα μαθηματικά τα οποία διαρθρώνουν το αντικείμενο και ρυθμίζουν τις ιδιότητές του. Κάθε τι "υπαρκτό" εμφανίζεται σαν ένα πλέγμα, που η υλικότητά του αποτελεί τη θεατή του όψη και οι μαθηματικές του ιδιότητες την απόκρυφη.

Φιλικά

Κηφεύς

Με αυτό το μήνυμα κλείνω την απάντησή μου, για το ποιά είναι η έννοια των Μαθηματικών:

Αυτές οι ιδιότητες, που υπάρχει η τάση να τις εξομοιόνουμε με μια ενδογενή πληροφορία υπερβαίνουν το υλικό αντικείμενο. Αποτελούν μια υπερυλική πραγματικότητα, την οποία θα ονομάσουμε πνεύμα, για ευκολία στην πραγμάτευση του θέματος έστω κι’αν ο όρος αυτός φαίνεται σε μερικούς ακατάλληλος.

Μεταξύ των επιστημονικών κλάδων, η κυβερνητική, θεωρούμενη από φιλοσοφική σκοπιά, παρουσιάζεται σαν επιστήμη του πνεύματος που περιέχεται στην ύλη υπό όλες της τις καταστάσεις.

Σύμφωνα μ’αυτή τη γνώμη, η σκέψη είναι πνεύμα που απελευθερώνει ο εγκέφαλος, ο οποίος μπορεί να την εναποθηκεύει και να την επεξεργάζεται.

Η αναζήτηση της πρωταρχικής πληροφορίας, είναι αναζήτηση του απόλυτου.

Εάν δούμε το Σύμπαν από τη σκοπιά των μαθηματικών, είμαστε αναγκασμένοι να δεχτούμε ότι αποτελείται από δύο συστατικά: την ύλη του και τα χαρακτηριστικά του ή τις ιδιότητές του που υπακούουν σε νόμους μαθηματικά εκφραζόμενους.

Τα χαρακτηριστικά αυτά μπορούν να θεωρηθούν ισοδύναμα της πληροφορίας που περιέχεται σ’αυτό. Αντιπροσωπεύουν κάτι "άϋλο", κάτι υπερβατικό σε σχέση με την ύλη, στο οποίο ταιριάζει μια χαρά ο όρος πνεύμα.

Τέλος, μπορούμε να αντιστρέψουμε τους συλλογισμούς και να υποστηρίξουμε ότι η ύπαρξη του Σύμπαντος έχει σαν επακόλουθο να δημιουργεί ιδιότητες τις οποίες ο Άνθρωπος, με μια επιτηδειότητα που είναι χάρισμά του, τις απομονώνει και τις εκφράζει υπό μαθηματική μορφή, φέρνοντας έτσι το συγκεκριμένο στο αφηρημένο είτε με μιαν απ’ευθείας νοητική διενέργεια, είτε με τη μεσολάβηση των αριθμών.

Φιλικά

Κηφεύς

Βιάστηκα να κλείσω με το προηγούμενο τέταρτο μήνυμά μου τον ορισμό των "Μαθηματικών", για να ολοκληρωθεί συνεχόμενα το όλο σκεπτικό.

Βέβαια, αυτό δεν σημαίνει ότι το θέμα έκλεισε. Η ανταλλαγή απόψεων για το μεγάλο κεφάλαιο των Μαθηματικών, μπορεί να συνεχιστεί από τους συνομιλητές, φωτίζοντάς το εποικοδομητικά και από άλλες οπτικές γωνίες.

Φιλικά

Κηφεύς

Παραθέτω την εικόνα της Πυραμίδας του Χέοπος, στην οποία είχα αναφερθεί σε παλαιότερο μήνυμά μου.

Δεν κατάφερα, όμως, να την μεγενθύνω περισσότερο.

Φιλικά

Κηφεύς

-------------------------------1 χ 8 + 1 = 9
-----------------------------12 χ 8 + 2 = 98
---------------------------123 χ 8 + 3 = 987
-------------------------1234 χ 8 + 4 = 9876
-----------------------12345 χ 8 + 5 = 98765
---------------------123456 χ 8 + 6 = 987654
-------------------1234567 χ 8 + 7 = 9876543
-----------------12345678 χ 8 + 8 = 98765432
---------------123456789 χ 8 + 9 = 987654321

Μου είχαν έρθει στο e-mail και είπα να τις μοιραστώ μαζί σας.
Αν μπορείς Dying_Incubus φτιάξε την δεύτερη σωστά κai τα πολλά edited..δεν ξέρω για ποιο λόγο αλλάζει η γεωμετρία αφού επιλέξω save

Edited by - Ωό on 10/06/2008 03:32:10

Edited by - Ωό on 10/06/2008 03:37:28

Edited by - Ωό on 10/06/2008 03:39:36

Edited by - Ωό on 10/06/2008 03:41:53

Edited by - Ωό on 10/06/2008 03:43:24

Edited by - Ωό on 10/06/2008 03:45:41

Edited by - Ωό on 10/06/2008 03:48:57

Edited by - Ωό on 10/06/2008 03:51:11

Όσον αφορά την διόρθωση της δεύτερης πυραμιδοειδούς παράθεσης των αριθμών, δεν ξέρω πως μπορεί να γίνει καλύτερη.

Πάντως είναι πολύ χρήσιμες κι οι 2 που παραθέτεις καθώς φανερώνουν πολλά για τον αριθμό 1.
Ειδικά η πρώτη μου άρεσε αρκετά.

Φίλε Κηφέα, πιστεύω κι εγώ ότι τα μαθηματικά είναι το μοντέλο επάνω στο οποίο έχει δημιουργηθεί κι έχει δομηθεί το Σύμπαν.
Ίσως είναι ο τρόπος που η Ανώτερη Δύναμη δημιούργησε τα πάντα, γνωστά κι άγνωστα σε εμάς.
Οι αριθμοί, η τριγωνομετρία κι όλες οι μαθηματικές μέθοδοι είναι οι προσπάθειες του ανθρώπου να κατανοήσει τα μυστικά των Μαθηματικών και το Σύμπαν μας.

In anticipation of my resurrection...

Οι άλλοι αριθμοί ακολουθούν άλλο μοτίβο - μία άλλη σειρά.
Η απάντηση για μένα είναι απλή:
Το σύμπαν όταν δημιουργούσε τους αριθμούς έπρεπε με κάποιο τρόπο να τους συνδέσει. Γιατί όμως; Μα για να κάνει οικονομία.
Μόνο ο αριθμός 9 είναι ασύνδετος και δεν ακολουθεί κάποιο μοτίβο.
Για αυτό και είναι ο αριθμός του χάους...

Δείτε το μοτίβο (αλγόριθμο) που ακολουθεί το 3.

1x3=3
2x3=6
3x3=9
4x3=12 1+2=3
5x3=15 1+5=6
6x3=18 1+8=9
...

Φιλικά

Κηφεύς

Τελικά (αν και σας ταλαιπώρησα λίγο), το σχέδιο και τις μαθηματικές απεικονήσεις, τις κρίνω ικανοποιητικές (βέβαια, με λίγη ανοχή εκ μέρους σας).

Φιλικά

Κηφεύς

ESOTERICA.gr Forums !

© 2010-11 ESOTERICA.gr